1 8-sinf geom yangi. 1-8-bet. 2015(boshi). p65

bd, DB.
Savol, masala va topshiriqlar

405. 
     1) Vektor nima? Vektorlar qanday belgilanadi?
     

2. 
   Qanday vektorlar bir xil (qarama-qarshi) yo‘nalgan vektorlar deyi­ladi? Vektorning moduli nima?
   
3. 
   Qanday ikki vektor teng deyiladi?
   

405. 
     ABCD to‘g‘ri to‘rtburchak berilgan. Uning uchlari bilan berilgan barcha vektorlarni yozing. Ular ichidan qaysilari: 1) AC to‘g‘ri chiziqda yotadi? 2) CD to‘g‘ri chiziqqa parallel?
     
406. 
     ABCD parallelogrammning diagonallari O nuqtada kesishadi. Uning uchlari va diagonallari kesishish nuqtasi bilan belgilangan vektorlarni yozing. Ular ichidan qaysilari: AB , BC va BO vektorlarga kollinear?
     
407. 
     A BCD parallelogrammda AD va BC vektorlarning tengligini isbotlang.
     
408. 
     ABCD — parallelogramm. 226- rasmda tasvirlangan vektorlar ichidan: 1) kol- linear; 2) yo‘nalishdosh; 3) qarama- qarshi yo‘nalgan; 4) teng uzunliklarga ega bo‘lgan vektorlar juftlarini ko‘rsa- ting.
     
409. 
     
410. 
     ABCD — to‘g‘ri to‘rtburchak. Quyidagi yozuvlardan qaysi biri ma’noga ega:
     

1. 
   AD < AC; 3) AC = BD; 5) AB = DC;
   
2. 
   AD < AC ; 4) AC = BD ; 6) AB = DC
   

405. 
     Agar: 1) AD = BC va AD = DC ; 2) AD П BC, AB va DC vektorlar esa nokollinear bo‘lsa, ABCD to‘rtburchakning turini aniqlang.
     
406. 
     AB = CD ekanligi ma’lum. Ushbu tasdiqlar to‘g‘rimi:
     

1. 
   AB|| CD; 2) | AB| = |CD|?
   

405. 
     ABCD parallelogrammning diagonallari O nuqtada kesishadi. 1) AB vek-
     

tor bilan yo‘nalishdosh; 2) AC vektorga yo‘nalishdosh; 3) DO vektor bilan qarama-qarshi yo‘nalgan vektorlarni yozing.

405. 
     ABCD to‘g‘ri to‘rtburchakda AB = 3 sm, BC = 4 sm, E — AB tomon-
     

ning o‘rtasi. AB , BC , DC , EA , CB , AC vektorlarning uzunliklari- ni toping.

405. 
     AB va BA vektorlarning yo‘nalishi haqida nima deyish mumkin?
     

VEKTORLARNI QO‘SHISH VA AYIRISH

1. 
   Vektorlarni qo‘shish. Bizga a va b vektorlar berilgan bo‘lsin (227- a rasm).
   

Ixtiyoriy A nuqtani belgilaymiz va bu nuqtadan a vektorga teng AB vektorni
qo‘yamiz. So‘ngra B nuqtadan b vektorga teng BC vektorni qo‘yamiz.
Endi a vektorning boshi A nuqtadan b vektor uchi C ga yo‘nalgan vektor
o‘tkazamiz (227-b rasm). AC vektor a va b vektorlarning yig‘indisi deyiladi. Vektorlarni qo‘shishning bu qoidasi «ucburchak (uch nuqta) qoidasi» deyiladi.
a va b vektorlarning yig‘indisi a + b kabi belgilanadi.
Uchburchak qoidasini quyidagicha ifodalasak ham bo‘ladi:
agar A, B va C ixtiyoriy nuqtalar bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli:
AB + BC = AC I t





U chburchak qoidasi istalgan A, B va C nuqtalar uchun, shu bilan bir qatorda ulardan ikkitasi yoki uchtasi ustma-ust tushganda ham o‘rinli bo‘ladi (227- d rasm).

2. 
   Vektorlarni qo‘shish qonunlari. Ma’lumki, parallelogrammning qarama- qarshi tomonlari o‘zaro teng va parallel. Agar yo‘nalishlari bir xil bo‘lsa, paral­lelogrammning qarama-qarshi tomonlari teng vektorlarni ifodalaydi.
   

a va b — nokollinear vektorlar bo‘lsin. Ixtiyoriy A nuqtadan AB = a va
AD = b vektorlarni qo‘yamiz hamda tomonlari shu vektordan tuzilgan ABCD parallelogrammni yasaymiz (228- rasm). Uchburchak qoidasiga ko‘ra:
AC = AB + BC = a + b va AC = AD + DC = b + a.
Bulardan a + b = b + a kelib chiqadi.
Demak, vektorlar yig‘indisi ularning qanday tartibda ketma-ket joylashishiga bog‘liq emas, ya’ni istalgan a va b vektorlar uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
a + ь = b + a.
Bunga vektorlarni qo‘shishning o‘rin almashtirish qonuni deyiladi. a va b vektorlardan tuzilgan ABCD parallelogrammda yig‘indi AC vektor qo‘shiluvchi vektorlarning umumiy boshidan chiquvchi diagonaldan iborat. Odatda, vektorlarni bunday qo‘shish vektorlarni qo‘shishning «parallelogramm
qoidasi (usuli)» deyiladi (228- rasm).
Endi uchta a , b va c vektorlar yig‘indisini ko‘raylik. Ixtiyoriy A nuqtadan
AB = a vektorni, B nuqtadan BC = b vektorni, C nuqtadan esa CD = С vektorni qo‘yamiz (229-rasm). Uchburchak qoidasini qo‘llab, ega bo‘lamiz:
(a + b) + c = {AB + BC ) + CD = A? + CD = AD;
^{V ; {}\ Г I i
a + ( + c) = AB + {BC + CD) = AB + BD = AD.
Bundan, istalgan a , b va c vektorlar uchun
⁽a + b) + c = a + ⁽b + c)
tenglik o‘rinli ekani kelib chiqadi. Bu vektorlarni qo‘shishning guruhlash qonuni (xossasi)dir.
Vektorlarning har biri noldan farqli bo‘lganda ularning yig‘indisi nol vektor bo‘lishi mumkin. Masalan, ABC uchburchakni qaraylik (230- rasm). Bunda AB ,


BC va CA vektorlar yig‘indisi nol vektor bo‘ladi, ya’ni: AB + BC +CA = 0, chunki birinchi vektorning boshi bilan uchinchi vektorning uchi ustma-ust tushdi. Demak, yig‘indi vektor nol vektor — nuqta bo‘ldi.

1. 
   ta’rif. Ikki vektorning yig‘indisi nol vektor bo‘lsa, ular qarama-qarshi vektorlar deb ataladi.
   

D emak, agar a + b = 0 bo‘lsa, u holda b = BA vek­tor a = AB vektorga (va aksincha) qarama-qarshi vektor deyiladi va b = -a, a = -b kabi yoziladi (231-rasm). Agar qarama-qarshi vektorlarni (uchburchak qoidasi bo‘- yicha) qo‘shsak, u holda nol vektor kelib chiqadi. Bunda | a | = | b |, a va b vektorlar parallel bo‘lib, turli tomonga yo‘nalgan bo‘ladi. Demak, har bir a vektor uchun unga qarama-qarshu - a vektor mavjud (ya’ni a + (-a) = 0) bo‘ladi. Yuqoridagi mulohazalardan quyi- dagi xulosa kelamiz:
agar nol bo‘lmagan ikki vektorning uzunliklari teng va ular qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa, ular qarama-qarshi vektorlar deyiladi.
Nol vektor o‘ziga-o‘zi qarama-qarshi vektor hisoblanadi.

3. 
   Vektorlarni ayirish. Vektorlarni ayirish xuddi sonlarni ayirish kabi qo‘- shishga teskari amaldir.
   

С Г ^r Г Л
2-1 a ’ r i f. a va b vektorlarning ayirmasi deb, shunday c vektorga ay-
tiladiki, uning b vektor bilan yig‘indisi a vektorni beradi: С + b = a .
a va b vektorlarning ayirmasi xuddi sonlarning ayirmasi kabi belgilanadi: a - b . Ikki vektorning ayirmasi birinchi vektorga ikkinchi vektorga qarama-qarshi vektorni qo‘shish sifatida aniqlanadi va u a + (-b ) vektorga teng (232-b rasm).
Bizga a va b vektorlar berilgan bo‘lsin (232-a rasm). a vektor bilan b vek­torga qarama-qarshi bo‘lgan (-b ) vektorning yig‘indisini ko‘raylik.
Istalgan a va b vektorlar uchun a - b = a + (- b) tenglik o‘rinli.
Haqiqatan ham, (a + (- b )) + b = a + ((- b ) + b ) = a + 0 = a .
Agar a va b vektorlar bitta O nuqtadan qo‘yilgan bo‘lsa, u holda a - b ayirmani topish uchun quyidagi qoidadan foydalanish qulay (232, d rasm):
OA - OB = BA 4 I





Yuqoridan ko‘rinadiki, ayriluvchi vektoming oxiri ayirma vektoming boshi, kamayuvchi vek- torning oxiri esa ayirma vektorning oxiri vazi- fasini o‘tar ekan. Qoidani esda saqlash qulay bo‘lishini ta’minlash maqsadida u sxematik tarz- da ko‘rsatildi.
V

233	B		C
b/		^ /
O	S	A

ektorni qo‘shishda parallelogramm usulidan foydalansak (233- rasm), ayirma vektor parallelo- grammning ikkinchi diagonalidan iborat bo‘ladi.
Masala. ABC uchburchak berilgan. Quyidagi: 1) BA; 2) CB;

3. 
   CB + BA vektorlarni a = AB va b = AC vektorlar orqali ifodalang.
   

Yechilishi. 1) BA va AB — qarama-qarshi vektorlar, shuning uchun BA = -AB yoki BA = -a .

2. 
   Uchburchak qoidasiga ko‘ra: CB = CA + AB . Lekin CA = -AC , shuning uchun
   

CB = AB + (-AC) = AB - AC = a - b.
Savol, masala va topshiriqlar

405. 
     1) Uchburchak va parallelogramm qoidasiga ko‘ra vektorlar yig‘indisi qanday topiladi?
     

2. 
   Berilgan vektorga qarama-qarshi vektor deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Ikki vektor ayirmasi deb nimaga aytiladi?
   

405. 
     234- rasmda a va b vektorlar tasvirlangan. a + b vektorni ikki usul bi­lan yasang.
     
406. 
     235-rasmda m, П va k hamda d va ё vektorlar tasvirlangan. Vektor­larni yasang: 1) l + П + k ; 2) d + Г.
     
407. 
     236-rasmda S, b va C hamda d va ё vektorlar tasvirlangan. Vektor­larni yasang: 1) S - b + C; 2) ё - d .
     
408. 
     ABCD parallelogramm berilgan. (aB - AD) + BC = AB tenglik bajarila- dimi? Tekshirib ko‘ring.
     
409. 
     A BCD rombda: AD = 20 sm, BD = 24 sm, O — diagonallarining kesishish nuqtasi. \~AD + AB - BC - OB ni toping.
     

405. 
     A BCD parallelogrammda: CA = a, CD = b. AB , BC , DA vektorlarni a va b vektorlar orqali ifodalang.
     
406. 
     E va F — ABC uchburchakning AB va AC tomonlarining o‘rtalari. BF ,
     

EC , EF va BC vektorlarni a = AE va b = AF vektorlar orqali ifo­dalang.

405. 
     ABCD — ixtiyoriy to‘rtburchak. AB + BC = AD + DC ekanini isbotlang.
     
406. 
     1 ) 237- rasmda m va П vektorlar tasvirlangan.
     

m + П vektorni ikki usul bilan yasang.

2. 
   238- rasmda a va b hamda С va d vektorlar tasvirlangan. b - S va С + d vektorlarni yasang.
   

405. 
     ABCD rombda: AB = a , AC = b . CB , AD, DC vektorlarni a va b vektorlar orqali ifodalang.
     

	42- mavzu.
		VEKTORNI SONGA KO‘PAYTIRISH

Biror a vektorni olamiz va a + a + a yig‘indini topamiz (239- rasm). Bunday yig‘indini 3 • a deb belgilaymiz va bu ifodani a vektorning 3 soniga ko‘paytmasi deb atashimiz tabiiydir.
Ta’rif. Nol bo‘lmagan a vektorning k songa ko‘paytmasi deb, shunday
b = k ■ a vektorga aytiladiki, bunda uning uzunligi |k|-| a | songa teng
bo‘lib, yo‘nalishi k > 0 bo‘lganda a va b vektorlar yo‘nalishi bilan bir xil, k< 0 bo‘lganda esa yo‘nalishlari qarama-qarshi bo‘ladi.
Nol vektorning ixtiyoriy songa ko‘paytmasi nol vektor deb hisoblanadi.





a vektorning k songa ko‘paytmasi ka kabi belgilanadi (son ko‘paytuvchi chap tomonga yoziladi). Ta’rifga ko‘ra: |ka | = |k|-|a\.
Vektorning songa ko‘paytmasi ta’rifidan bevosita quyidagilar kelib chiqadi:

1. 
   istalgan vektorning nolga ko‘paytmasi nol vektor bo‘ladi; 2) istalgan son va
   

ixtiyoriy a vektor uchun a va k a vektorlar kollinear.
Endi vektorni songa ko‘paytirishning asosiy xossalarini sanab o‘tamiz.
Istalgan a, b vektorlar va istalgan k, l sonlar uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
1°. (k-1) а = k■ (lа) — guruhlash qonuni.
2°. (k + l) а = k а + lа — birinchi taqsimot qonuni.
3°. k( а + b) = kа + kb — ikkinchi taqsimot qonuni.
4°. k- 0 = 0- а = 0.
Parallel to‘g‘ri chiziqlarqa yoki bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi ikki vektorni kollinear vektorlar deb atalishini yana bir bor eslatib o‘tamiz.

50. 
    to‘g‘ri chiziq va unga parallel bo‘lgan a, b va C vektorlar berilgan bo‘l- sin (240- rasm). Ta’rifga ko‘ra, a, b va C vektorlar kollinear vektorlar bo‘ladi. Bu yerda a va b vektorlar bir xil yo‘nalgan, C vektor esa a va b vektorlarga nisbatan qarama-qarshi yo‘nalgan.
    

Ma’lumki, vektorni songa ko‘paytirganda ko‘paytma vektorning yo‘nalishi berilgan vektorga parallel bo‘ladi. Bundan quyidagi muhim xulosani hosil qilamiz:
vektorning songa ko‘paytmasi shu vektorga kollinear vektordir.
^Teorema.
Vektor o‘zining moduliga teng songa bo‘linsa, shu vektorga kollinear birlik vektor hosil bo‘ladi.
Isbot. a vektorning moduli |a| bo‘lsin. a vektorning k = -pT- songa ko‘paytmasini qaraylik:
| ka | = | k | ■ | a | = t¹¹- ■ | a | = 1.


Demak, ko‘paytma vektor moduli bir birlikka teng.
Moduli birga teng vektorni birlik vektor deb ataymiz. Agar a vektor bo‘yi-
cha yo‘nalgan birlik vektorni e deb belgilasak, teoremaga ko‘ra: e = ^а yoki bu