1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

Мисоллар.a) тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечими. Характеристикалар тенгламасини тузиб, биринчи интегралларни топамиз:

Демак, берилган тенгламанинг умумий ечими кўринишда бўлади.
б) Хопф тенгламасининг умумий ечимини топинг.
Ечими. Характеристик система

кўринишда бўлиб, биринчи интеграллари бўлади.
Демак, берилган тенгламанинг ихтиёрий ечими

кўринишда бўлади.
в) тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечими. Характеристиклар системасидан

қуйидагиларни топамиз:
лар
ихтиёрий ўзгармаслар.
Биринчи интеграллари:

кўринишда бўлиб, берилган тенгламанинг ихтиёрий ечими

ифода билан берилади.
г) тенгламанинг умумий ечимини ва чизиқдан ўтувчи ечимини топинг.
Ечими. Характеристик тенгламасини тузиб, биринчи интегралларни топамиз:


Демак, берилган тенгламанинг умумий ечими

F– ихтиёрий функция кўринишида бўлади. Бизда z биринчи интегралларнинг фақат биттаси иштирок этаётгани учун умумий ечимни ошкор кўринишда ёзиш олиш мумкин:

бу ерда f – ихтиёрий функция.
Энди берилган чизиқдан ўтувчи ечимни топиб олиш учун чизиқнинг тенгламасини параметрик кўринишда ёзиб оламиз:

Буни биринчи ифодасига қўйиб x ни йўқотиб қуйидагиларга эга бўламиз:

ва ларнинг ўрнига интегралларига ифодаларни қўйиб, изланган ечимни оламиз:

Ляпуновнингбиринчияқинлашишбўйичатурғунликҳақи­дагитеоремасиданфойдаланиб, нолечимнитурғунликкатекширинг.
302. 303.