1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

Мисол. функциялар синфи

тенгламанинг умумий ечими бўлишини исботланг.
Ечими. Функцияни тенгламага қўйиб қуйидагини оламиз:

Берилган функция тенгликни барча ларда айниятга айлантирди.
Энди биз тенгламанинг ихтиёрий ечимини берилган функциялар синфига тегишли эканлигини кўрсатамиз. Ҳақиқатдан ҳам, ечим бўлгани учун тенгламани қаноатлантиради.

ёки

функциянинг хосиласи нолга тенглигини кўрсатамиз:

Бунда эса эканлиги келиб чиқади ва демак,

Шундай қилиб, берилган функциялар синфи тенглама учун умумий ечим экан.
2. Ўзгарувчиларини ажратиб ёки бошқача қилиб айтганда, ҳар иккала томонини бир хил функцияга кўпайтириб ёки бўлиб, бир томо­нида фақат x иккинчи томонида y иштирок этадиган кўринишга келтириш мумкин бўлган дифференциал тенглама ўзгарувчилари ажра­ла­диган тенглама дейилади. Хусусан,
(4)
(5)
кўринишидаги тенгламалар ўзгарувчилари ажраладиган тенгламалардир. Бундай тенгламаларни ечиш учун ўзгарувчиларини ажратиш ва ҳосил бўлган тенгликни интеграллаш керак.
Тенгламанинг ҳар икала томонини х вау лар иштирок этган ифодага бўлинаётганда шу ифодани нолга айлантириладиган ечимларини йўқотиб қўйишдан эҳтиёт бўлиш керак.
Мисол. тенгламани ечинг.
Ечими. Тенгламани қуйидаги кўринишга келтириб оламиз:

Ҳосил бўлган тенгликнинг ҳар иккала қисмини бўлиб,

кўринишдаги ўзгарувчилари ажралган тенгламани оламиз ва интеграл­лаб:

ечимлар тўпламига эга бўламиз.
Тенгликни га бўлганда ва ёки ечимлар йўқотилган бўлиши мумкин. Тушунарлики, тенгламанинг ечими эмас, эса ечим. Лекин бу ечимларни (6) ечимлар тўпламига бирлаштириш мумкин, бунинг учун деб олиш кифоя ва демак,