1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

Мисол. эгри чизиқлар ( – параметр) оиласининг изогонал траекторияларини топинг (шу оила эгри чизиқлари билан бир хил бурчак остида кесишувчи бошқа бир оила изогонал траекториялари дейилади)
Ечими. Берилган чизиқлар оиласининг дифференциал оиласини тузамиз. Бунинг учун қуйидаги системадан C параметрни йўқотамиз:
(1)
Натижада берилган чизиқлар оиласининг

кўринишдаги тенгламасини оламиз (бу ерда умуман олганда кўринишдаги тенглама ҳосил бўлади, биз уни га нисбатан ечиб олиш мумкин деб фараз қиламиз).
Маълумки, нуқтада кесишувчи икки эгри чизиқ орасидаги бурчак деб, эгри чизиқларга бу нуқталарда ўтказилган уринмалар орасидаги бурчакка айтилади. Бири биринчи (берилган), иккинчиси иккинчи (топиш керак бўлган) чизиқлар оиласига тегишли бўлган нуқтада ўзаро кесишувчи ихтиёрий иккита чизиқни I ва II деб белгилаб олайлик (2-расмга қаранг). I ва II чизиқларга М нуқтада ўтказилган уринмаларнинг OX ўқи билан ҳосил қилган бурчакларни мос равишда билан белгиласак, I ва II чизиқлар орасидаги бурчак бўлади. Бундан
(2)

2-расм.

тенгликни оламиз. Тушунарлики, – маълум ( бурчак берилган), ( чизиққа берилган нуқтадан ўтказил­ган уринманинг бурчак коэффициентини беради). Демак, (2) муносабат (3)

кўринишида бўлади. Бу умумий интеграли берилган эгри чизиқлар оиласи учун изогонал траекториялар бўлади, улар берилган эгри чизиқларни бир хил бурчак остида кесиб ўтади. Агар траекториялар ортогонал бўлса, у ҳолда

бўлиб, ортогонал траекториялар оиласининг дифференциал тенгламаси ушбу кўринишда бўлади:
(4)
Хусусан, чизиқлар оиласига ортогонал бўлган (чизиқ­лар оиласини) траекторияларини топиш керак бўлсин.
Аввало, чизиқлар оиласининг дифференциал тенгламасини тузиб оламиз:

Демак, берилган чизиқлар оиласининг дифференциал тенгламаси экан. (4) тенгликка кўра изланаётган траекторияларнинг дифференциал тенгламаси
(5)
кўринишда бўлади. Бу дифференциал тенгламани ечамиз

Демак, изланаётган чизиқлар оиласининг тенгламаси бўлади.
Мисол. Шундай чизиқни топингки, унинг ихтиёрий нуқтасидан ўтказилган уринма, уриниш нуқтаси ординатаси ва абсциссалар ўқи хосил қилган учбурчак юзи ўзгармас га тенг бўлсин.

3-расм.

Ечими. Изланаётган чизиқнинг ихтиёрий нуқтасини олайлик (3-расмга қаранг). Тушунарлики, чизиққа нуқтадан ўтка­зилган уринма билан ОХ ўқи орасидаги бурчак учун тенглик ўринли. Биз қуйида­гиларга эгамиз:

Иккинчи томондан демак, қуйидаги дифференциал тенгламага эга бўламиз:

Бу тенгламани ўзгарувчиларини ажратиб ечамиз:

Шундай қилиб, биз масаланинг ечимини олдик, изланган чизиқ кўринишида бўлар экан.