1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

1-§. ЎЗГАРУВЧИЛАРИ АЖРАЛАДИГАН ВА
УНГА КЕЛТИРИЛАДИГАН ТЕНГЛАМАЛАР


1. Умумий тушунчалар.
(1)
кўринишдаги тенглама ҳосилага нисбатан ечилган биринчи тартибли дифференциал тенглама дейилади. Бу ерда х – эркли ўзгарувчи, аргументнинг номаълум функцияси; f(х,у) эса (х,у) текисликнинг бирор D соҳасида (coҳa деганда, биз боғлиқли очиқ тўпламни назарда тутаяпмиз) аниқланган ва узлуксиз функция.
(а,b) оралиқда аниқланган, узлуксиз дифференциалланувчи функция (1) тенгламанинг ечими дейилади, агар у (а,b) оралиқда (1) тенгликни айниятга айлантирса:
(2)
ечим (х,у) фазода чизиқни аниқлайди, шу чизиқ (1) тенгламанинг интеграл чизиғи дейилади.
(1) тенгламанинг шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш масаласи Коши масаласи дейилади. Бундай ечим кўпинча (х₀, у₀) нуқтадан ўтувчи ечим ёки интеграл чизиқ деб ҳам юритилади.
– ўзгармас сон, (3)
функциялар синфи Dсоҳада (1) тенгламанинг умумий ечими дейилади, агар у қуйидаги шартларни қаноатланирса:
1) Барча ларда (3) система (1) нинг ечимини беради;
2) С ни танлаб олиш ёрдамида (1) нинг D дан ўтувчи ихтиёрий ечимини (3) систамадан ҳосил қилиш мумкин.
Агар бизга (1) тенгламанинг (3) кўринишдаги умумий ечим маълум бўлса, унда Коши масаласининг ечимини ажратиб олиш мумкин. Бунинг учун (3) тенгликда дебС нинг шу тенгликни қаноатлантирувчи қийматини топиш ва уни (3) тенгликка олиб бориб қўйиш керак. Натижавий функция исталган ечимни беради.
Мисол. функциялар синфи ҳар бир да тенгланинг ечими бўлишини, лекин бу тенглама учун умумий ечим бўла олмаслигини исботланг.
Ечими. Функциянинг ҳосиласини ҳисоблаб тенгламага қўямиз:

Беpилган функция ихтиёрийС ларда тенгликни айниятга айлантираяпти, демак, у ҳар бир С да ечим бўлади. Лекин функциялар синфидагиС ни танлаш ҳисобига берилган тенгламанинг барча ечимларини ҳосил қилиб бўлмайди, масалан, ечимни.
Демак, берилган функциялар синфи тенглама учун умумий ечим бўла олмайди.