1-§. ЎЗгарувчилари ажраладиган ва унга келтириладиган тенгламалар умумий тушунчалар

Махсус нуқталар. Бизга
(12)
тенгламалар системаси ёки
(13)
тенглама берилган бўлиб, ва функциялар узлуксиз дифференциалланувчи бўлсин. У ҳолда шартларни қаноатлантирувчи нуқталар (12) тенгламалар системасининг ёки (13) тенгламанинг махсус нуқталари дейилади.
(14)
тенгламалар системаси ёки
(15)
тенгламанинг махсус нуқталарини синфларга ажратиш учун

характеристик тенгламанинг илдизларини топиб олиш керак. Агар илдизлар ҳар хил ҳақиқий бўлиб, ишораси ҳар хил бўлса, махсус нуқта – турғун (20-а расм), ишораси ҳар хил бўлса, махсус нуқта – эгар (20-б расм), агар илдизлари фақат мавҳум бўлса, махсус нуқта – марказ (20-г расм), агар илдизлари бир хил ва нолдан фарқли (яъни ) бўлса, махсус нуқта – айниган тугун (20-д расм) ёки ( бўл­ганда) дикритик тугун (е-расм) дейилади.
Мисол. системанинг махсус нуқтасини топиб, типини аниқланг.
Ечими. системадан махсус нуқта эканлиги келиб чиқади. Энди характеристик тенгламани тузиб, илдизини аниқлаймиз.

a)	б)	в)
г)	д)	е)

20-расм.


(16)
Илдизлар ҳар хил ҳақиқий ва ишораси бир хил, демак, махсус нуқта тугун бўлади.
6. (17)
хусусий ҳосилали тенгламанинг умумий ечимини топиш учун қуйи­даги оддий дифференциал тенгламалар системасининг (яъни (7) тенгламани характеристик тенгламанинг)
(18)
n та эркли биринчи интегралини топиш керак:
(19)
У ҳолда (17) тенгламанинг умумий ечими ошкормас кўринишда қуйидагича ёзилади:
(20)
Бу ерда F – ихтиёрий дифференциалланувчи функция. Хусусан лардан фақат биттаси z га боғлиқ бўлса, (20) тенгламани ўшанисига нисбатан ечиб олиш мумкин.
7. (21)
дифференциал тенгламани қаноатлантирувчи ва

чизиқдан ўтувчи сиртни топиш учун (21) тенгламанинг характеристик тенгламалар системасини тузиш:
(23)
ва унинг иккита эркли биринчи интегралини

топиш керак. Бу биринчи интеграллардаги ларни қўйиб,
(25)
тенгламаларни оламиз. Бу тенгламалардан t параметрни йўқотиб, ифодани оламиз. ва ларнинг ўрнига (24) тенгликларнинг чап қисмларини қўйиб, қидирилаётган сиртнинг тенгламасини оламиз.