1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

11-§. To’la metrik fazolar.

ketma- ketlik metrik fazoda fundamental ketma-ketlik deyiladi, agar uchun shunday natural son topilsaki, barcha , lar uchun bo’lsa. Uchburchak tengsizligidan har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik fundamental bo’lishi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, agar bo’lsa, , ,

u holda barcha , uchun

o’rinli.

Ta’rif. Agar metrik fazoda ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bu fazo to’la deyiladi.

1. 
   Yakkalangan nuqtalar to’plami to’la metrik fazo bo’ladi. Bunda faqat statsionar ketma-ketliklar, ya’ni biror nomerdan boshlab faqat bitta nuqta takrorlanuvchi ketma-ketlik fundamental bo’ladi. Bunday ketma-ketliklar albatta yaqinlashuvchi.
   
2. 
   - to’la metrik fazo bo’ladi. Chunki Koshi teoremasiga ko’ra har qanday fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’ladi.
   
3. 
   fazoning to’laligi ning to’laligidan kelib chiqadi. O’z navbatida dan olingan fundamental ketma-ketlik bo’lsin, ya’ni , mavjudki,
   

,

tengsizlik bajariladi. Bu yerda . U holda har bir va uchun tengsizlik barcha uchun bajariladi, ya’ni - fundamental ketma – ketlik.

va deb olamiz, U holda .

va fazolarning to’laligi huddi shunga o’xshash isbotlanadi.

4. C[a,b] ning to’laligini ko’rsatamiz. dagi fundamental ketma – ketlik bo’lsin. Demak, uchun mavjudki, _, da bo’ladi. Bu esa ni tekis yaqinlashuvchi ekanini ko’rsatadi. Uning limiti esa uzluksiz funksiya bo’lishi ma’lum. Yuqoridagi tengsizlikda da limitga utib, barcha , lar uchun tengsizlikni olamiz. Bu ni ga C[a,b] dagi metrika bo’yicha yaqinlashuvchi ekanligini bildiradi.

5. fazo, da fundamental ketma –ketlik bo’lsin. , , da

(1)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Bundan har qanday da sonlar ketma – ketligi fundamental ekanligi kelib chiqadi. deb belgilaymiz.

Quyidagilarni ko’rsatamiz.

a) , ya’ni

b)

(1) dan ixtiyoriy tayinlangan da

tengsizlik o’rinli. Bu yig’indi faqat chekli sondagi qo’shiluvchilardan iborat, ni tayinlab da limitga o’tamiz.

Bu ixtiyoriy da o’rinli. da limitga o’tib

(2)

ni olamiz.

va

larning yaqinlashuvchiligidan ning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

ning ixtiyoriyligidan va (2) tengsizlikdan



_{Demak, fazo to’la ekan.}

6. 
   to’la emasligini ko’rsatamiz.
   

da

ketma-ketlikni qaraymiz. U da fundamental, chunki

U hech bir dan olingan funksiyaga yaqinlashmaydi. Haqiqatan ham - uzilishga ega funksiya.

Minkovskiyning integral tengsizligiga ko’ra uchun

funksiyaning uzluksizligidan chap tomon noldan farqli va

Shuning uchun

da nolga intilishi mumkin emas, ya’ni to’la fazo emas.