1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

5-misol. Har qanday ikkita o’lchamli haqiqiy chiziqli fazolar izomorf bo’ladi. Haqiqatan, va - o’lchamli fazolar, va - mos ravishda va dagi bazislar bo’lsin.

Ushbu

formula izomorfizmni aniqlaydi, chunki bo’lsa bo’ladi. Shu sababli

,

ya’ni chiziqli akslantirish bo’ladi. Teskari akslantirishni esa

formula aniqlaydi, shuning uchun biektivdir.

chiziqli fazo, uning qism fazosi bo’lsin. Agar elementlar uchun bo’lsa, va ni ga nisbatan ekvivalent deyiladi va ko’rinishda yoziladi. - orqali elementga bo’yicha ekvivalent bo’lgan elementlar oilasini belgilaymiz. Kiritilgan ekvivalentlik munosabati fazoni o’zaro kesishmaydigan sinflarga ajratadi va biz bu sinflarni qo’shni sinflar deb ataymiz. Barcha qo’shni sinflar to’plamini orqali belgilab unda qo’shish va songa ko’paytirish amallari quyidagicha kiritamiz: va sinflardan bittadan va element tanlab olib, va sinflarning yig’indisi deb ni o’z ichiga olgan sinfni ataymiz: sinfning songa ko’paytmasi deb, ni saqlaydigan sinfga aytamiz. Bu amallarning tanlangan elementlarga bog’liq emasligi va chiziqli fazo aksiomalarining o’rinli ekanligini bevosita tekshirish mumkin (talabaga havola qilamiz). Hosil bo’lgan chiziqli fazo ning qism fazo bo’yicha faktor fazosi deyiladi.