1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

Teorema. segmentda aniqlangan har qanday o’zgarishi chegaralangan funksiya yagona usulda uzluksiz va sakrash funksiyalarining yig’indisi ko’rinishida ifodalanadi.

Endi absolyut uzluksiz funksiyalar sinfini kiritamiz. Bu funksiyalar sinfi o’zgarishi chegaralangan funksiyalar sinfidan kengroq bo’lib, jamlanuvchi funksiyalarning aniqmas integrali bilan yaqin bog’langan.

2-ta’rif. segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo’lsin. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo’lib, soni chekli va har ikkisi o’zaro kesishmaydigan har qanday

(1)

segmentlar uchun

,

shartlar bajarilganda

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda funksiya segmentda absolyut uzluksiz deyiladi.

Absolyut uzluksiz funksiyaga misol sifatida Lipshits shartini, ya’ni

tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyani olishimiz mumkin. Haqiqatan, agar (1) segmentlar sistemasi uchun (2) shartlar bajarilsa, u holda

bo’lib, sonini deb tanlasak,

bo’ladi.

Endi absolyut uzluksiz funksiyalarni bir nechta xossalarini keltiramiz.

1⁰. va funksiyalar absolyut uzluksiz bo’lsa, u holda ularning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi ham absolyut uzluksiz funksiyalar bo’ladi. Bundan tashqari, agar berilgan segmentda nolga teng bo’lmasa, u holda ham o’sha segmentda absolyut uzluksiz bo’ladi.

2⁰. segmentdagi absolyut uzluksiz funksiyaning bu segmentda o’zgarishi chegaralangan bo’ladi.

3⁰. Har qanday absolyut uzluksiz funksiyani ikkita o’suvchi absolyut uzluksiz funksiyalar ayirmasi shaklida ifodalash mumkin.

13-mashq. Quyidagi funksiyalarning to’la o’zgarishini hisoblang.

13.1. 13.2.

13.3. 13.4.

13.5. 13.6.

13.7. 13.8.

13.9. 13.10.

13.11. 13.12

13.13. 13.14.

13.15.

14-mashq. Quyidagi funksiyalarni ikkita monoton funksiyaning ayirmasi ko’rinishida ifodalang.

14.1. 14.2.

14.3. 14.4.

14.5. 14.6.

14.7. 14.8.

14.9. 14.10.

14.11. 14.12.

14.13.

14.14. 14.15.