1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

6-§. O’zgarishi chegaralangan funksiyalar.

Muhim va ko’pgina tadbiqlarga ega bo’lgan funksiyalar orasida o’zgarishi chegaralangan funksiyalar sinfi katta ahamiyatga ega.

1-ta’rif. segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo’lsin. Agar segmentni

nuqtalar bilan qismga bo’lganimizda nuqtalarni tanlab olishga bog’liq bo’lmagan va ushbu

(1)

tengsizlikni qanoatlantiradigan o’zgarmas son mavjud bo’lsa, u holda funksiya segmentda o’zgarishi chegaralangan deyiladi.

(1) tengsizlikning chap tomonidagi yig’indining aniq yuqori chegarasini ( segmentni qismlarga turlicha bo’lishlar to’plamiga nisbatan) bilan belgilaymiz. Bu son funksiyaning segmentdagi to’la o’zgarishi deyiladi.

Misol. segmentda monoton o’suvchi funksiya chegaralangan o’zgarishga ega, chunki uning uchun (1) ko’rinishdagi har qanday yig’indi ga teng.

Xossalari.

1⁰. segmentda o’zgarishi chegaralangan funksiya chegaralangan bo’ladi.

2⁰. segmentda o’zgarishi chegaralangan funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi ham o’zgarishi chegaralangan bo’ladi.

3⁰. Agar bo’lsa, u holda tenglik o’rinli bo’ladi.

4⁰. segmentda o’zgarishi chegaralangan har qanday funksiya ikkita monoton o’suvchi funksiyalarning ayirmasi ko’rinishida yozish mumkin.

5⁰. O’zgarishi chegaralangan har qanday funksiya deyarli har bir nuqtada chekli xosilaga ega.

Endi sakrash funksiyasini kiritamiz. Faraz qilaylik nuqtalar segmentdan olingan soni chekli yoki sanoqli nuqtalar bo’lsin. Har bir nuqtaga ikkita va sonlarni mos qo’yamiz va ular uchun ushbu

munosabatlarning bajarilishini talab etamiz. Bundan tashkari, bo’lganda va bo’lganda esa bo’lsin.

Quyidagi tenglik bilan aniqlangan

funksiyaga sakrash funksiyasi deyiladi.

Bu funksiya uchun

ekanini bevosita tekshirib ko’rish mumkin.

Endi e’tiboringizga asosiy teoremalardan birini havola qilamiz.