1-§. To’plamlar ustida amallar va akslantirishlar

5-§. Lebeg integrali
Aytaylik, funksiya kesmada chegaralangan bo’lib, bo’lsin. kesmani quyidagicha n ta bo’lakka bo’lamiz:

Endi quyidagicha yig’indilar tuzamiz:

(1)

bunda va – kesmadagi Lebeg o’lchovi. (1) yig’indilar mos ravishda Lebeg integralining quyi va yuqori yig’indilari deyiladi. bo’lsin. Agar va limitlar mavjud va teng bo’lsa, u holda funksiya kesmada Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deyiladi, bu limit esa funksiyani kesmadagi integrali deyiladi va kabi belgilanadi.

Endi Lebeg integralining ba’zi xossalarini keltiramiz.

1⁰. Agar funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi bo’lsa, u Lebeg ma’nosida ham integrallanuvchi bo’ladi.

2⁰. Agar ixtiyoriy uchun bo’lsa, u holda bo’ladi.

3⁰. Agar funksiya da integrallanuvchi bo’lsa, u holda uchun tenglik o’rinli bo’ladi.

4⁰. Agar va funksiyalar da integrallanuvchi bo’lsa, u holda tenglik o’rinli bo’ladi.

5⁰. Agar integrallanuvchi , funksiyalar uchun bo’lsa, u holda tengsizlik o’rinli bo’ladi.

6⁰. da integrallanuvchi funksiya uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.

7⁰. Agar funksiya da integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya xam da integrallanuvchi bo’ladi.

Lebeg integralining ta’rifini, chekli va cheksiz o’lchovli to’plamlar bo’yicha ixtiyoriy o’lchovli funksiyaning Lebeg integrali ta’rifini, Lebeg va Riman integralini solishtirishni, Lebeg, Levi, Fatu teoremalarini hamda Lebeg integralining qolgan xossalarini [1], [2] –adabiyotlardan o’rganishni talabalarga tavsiya qilamiz.