1-§. Gilbert Shmidt teoremasi haqida §. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

K	s , t	t	dt	f s	0,
(1.1)
	a
		b
	s	K	s , t		t dt+f s	f s ,	(1.2)
		a
bu erda	nomalum funktsiya, K	s , t	va	f	s malum funktsiyalar. (1.1) va (1.2)

tenglamalar mos ravishda birinchi va ikkinchi tur Fredholm tenglamalari deyiladi.

Xususan, K s , t funktsiya t s qiymatlar uchun K s , t 0 shartni

qanoatlantirsa, u holda (1.1) va (1.2) tenglamalar mos ravishda
s

K s , t t dt f s 0,(1.3)

a

	s
t	K s , t	t dt	f s ,	(1.4)

a

ko’rinishlarga ega bo’ladi. Bunday tenglamalar birinchi va ikkinchi tur Volterra tenglamalari deyiladi. Volterra tenglamalari Fredholm tenglamalarining xususiy holi bo’lsa-da, ular alohida o’rganiladi, chunki Volterra tenglamalari o’ziga xos bo’lgan xossalarga ega.

Agar (1.1)-(1.4) tenglamalarda f funktsiya nolga teng bo’lsa, bu tenglamalar bir jinsli deyiladi.

Navbatdagi teoremalarni isbotlashda biz integrallash tartibini almashtirish haqidagi Fubini teoremasining natijasidan foydalanamiz. Fubini teoremasi natijasining quyidagi bayoni biz uchun qulaydir.

1.1-teorema (Fubini). Agar K

x , y

funktsiya

a , b

a , b

kvadratda

integrallanuvchi bo’lsa, u holda deyarli barcha x

a , b

y

a , b

larda

b

b

K x , y

^2 dy

K x , y

^2 dx

a

a

integral mavjud va quyidagilar o’rinli

b b

b

b

b

b

K x , y

^2 dx dy

dx

K x , y

^2 dydy

K x , y

^2dx .

a a

a

a

a

a

1.2-teorema. Agar

K

x , y

yadro

(1.5) shartni qanoatlantirsa, u holda

L2 a , b fazoda (1.6) tenglik bilan aniqlanuvchi T operator chiziqli, kompakt va

b b

T

K

s , t

(1.7)

^2 ds dt

tengsizlik o’rinli.

Isbot. Avvalo shuni takidlaymizki, Fubini teoremasi va (1.5) shartga ko’ra, deyarli barcha s lar uchun

Kompakt operatorlarning asosiy xossalari mavzusidagi 1.1-natijaga asosan T ham kompakt operator bo’ladi. Teorema isbotlandi.

1.2-teoremaning isboti davomida biz shu narsani o’rnatdikki, har qanday Fredholm operatori chekli o’lchamli operatorlarning norma bo’yicha limitidir.

T1, T2

(1.6) ko’rinishdagi ikkita operator va K1 , K2

ularga mos keluvchi

yadrolar bo’lsin. Agar barcha

L2 a , b

lar uchun T1

T2

bo’lsa, u holda

deyarli

hamma erda

K1 s , t

K 2 s , t .

Haqiqatan

ham,

agar

barcha

L2

a , b

l ar uchun

b

T1

T2

s

K1 s , t

K 2 s , t

t dt 0

a

bo’lsa, u holda deyarl i barcha s

a , b

larda

Bu

erdan bizning tasdig’imiz

K1 s , t

K 2

s , t

L

a , b ^2

fazoda ekvivalent funktsiyalar

bitta

Element

Shuning uchun aytish mumkinki, integral operatorlar Bilan yadrolar o’rtasidagi moslik o’zaro bir qiymatlidir. 1.3-teorema. T K s , t yadro Bilan aniqlanuvchi Fredholm operatori bo’lsin. U holda unga qo’shma bo’lgan T * operator K t , s yadro bilan aniqlanadi. Isbot. Fubini teoremasidan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz. Haqiqiy Hilbert fazosi (va demak haqiqiy K yadro) qaraladigan holda o’z-o’ziga qo’shmalik sharti bo’lib, K s , t K t , s

tenglik xizmat qiladi. (1.8) shartni qanoatlantiruvchi yadrolar simmetrik yadrolar deyiladi. Endi (1.8) shartni qanoatlantiruvchi yadroli integral tenglamani o’rganamiz. Yuqorida aytilganidek, bu holda

o’z-o’ziga qo’shma kompakt operator. Demak, bu operatorga Hilbert – Shmidt teoremasini qo’llash mumkin. (1.2) tenglamani qisqacha

ko’rinishda yozamiz. Hilbert – Shmidt teoremasiga asosan, T operator uchun _n xos qiymatlarga mos funktsiyalarning ortonormal sistemasi keluvchi xos shunday

mavjudki, ixtiyoriy			L2	a , b			element yagona usul bilan
^an n	',	' KerT ,

ko’rinishda ifodalanadi. Shunday qilib,

deymiz va (1.9) tenglamaning yechimini

ko’rinishda izlaymiz. (1.10), (1.11) yoyilmalarni (1.9) ga qo’yib,

tenglamaga kelamiz , ya’ni

Bunday yoyilma yagona bo’lganligi sababli

1.4-teorema. Agar 1 soni T operator uchun xos qiymat bo’lmasa, u holda (1.9)
tenglama ixtiyoriy f	uchun yagona echimga ega. Agar 1 soni T operator uchun xos
qiymat bhola (1.9) tenglama echimga ega bo’lishi chun			f	funktsiya 1 soniga mos

keluvchi barcha xos funktsiyalarga ortogonal bo’lishi etarli va zarurdir. Bu holda (1.9) tenglama echimlarining soni cheksizdir.

2-§. Chiziqli integral tenglamalarni yechish

Bu paragrafda chiziqli integral tenglamalarni yechishga doir masalarni qaraymiz.