Haqiqiy sonlar. Haqiqiy sonning absolyut qiymati

Aim.uz

Haqiqiy sonlar. Haqiqiy sonning absolyut qiymati
Son tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biridir. Sanash natijasida dastlab natural sonlar hosil bolgan. Ulardan tuzilgan to’plam natural sonlar to’plami deb ataladi va u bilan belgilanadi. Demak, natural sonlar to’plamidir.

Natural sonlar, ularga qarama-qarshi sonlar va nol soni birgalikda butun sonlar to’plamini hosil qiladi va bilan belgilanadi. Demak,

butun sonlar to’plamidir.

Qisqarmaydigan kasr ko’rinishida tasvirlangan har bir son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional sonlar to’plami deb belgilanadi. Demak,

Agar kasrning maxraji () bo’lsa, u o’nli kasr deyiladi.

Agar ni ga bo’lish jarayonida biror qadamdan keyin qoldiq nolga teng bo’lsa, u holda bo’lish jarayoni to’xtab, kasr o’nli kasrga aylanadi. Odatda, bunday o’nli kasr chekli o’nli kasr deyiladi. Masalan, .

Agar ni ga bo’lish jarayoni cheksiz davom etsa, ma’lum qadamdan keyin ilgari paydo bo’lgan qoldiqlardan biri yana uchraydi, so’ng undan oldingi raqamlar mos tartibda takrorlanadi. Odatda bunday kasr cheksiz davriy o’nli kasr deyiladi. Masalan, kasrda ni ga bo’lib, 0,333… bo’lishini ko’ramiz. Ya’ni,

Ushbu , , , kasrlar cheksiz davriy kasrlardir. Bu kasrlarning davri mos ravishda , , bo’lib, ularni ; ; kabi yoziladi.

Shunday kasrlar uchraydiki, ular cheksiz, lekin davriy emas. Masalan, ; ; ; bunday cheksiz, davriy bo’lmagan o’nli kasrlarni ratsional son ko’rinishida ifodalab bo’lmaydi.

Cheksiz davriy bo’lmagan o’nli kasr irratsional son deb ataladi.

Masalan, ; ;

Barcha irratsional sonlarni irratsional sonlar to’plami deb ataladi va u bilan belgilanadi.

Ratsional va irratsional sonlar to’plami birgalikda haqiqiy sonlar to’plamini hosil qiladi. U bilan belgilanadi. Demak, .

Haqiqiy sonlardan tashkil topgan quyidagi to’plamlar matematika kursida juda ko’p ishlatiladi.

1. Ushbu to’plam segment yoki kesma deyiladi va kabi belgilanadi.

2. to’plam interval yoki oraliq deyiladi va kabi yoziladi.

3. , to’plamlar yarim interval (oraliq) deyiladi va mos ravishda , kabi belgilanadi.

4. tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning qiymatlar to’plamiga cheksiz oraliq deyiladi va u () kabi yoziladi.

5. va tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning qiymatlar to’plamiga yarim cheksiz oraliqlar deyiladi hamda ular mos ravishda va kabi yoziladi.

Agar shunday o’zgarmas son mavjud bo’lsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, to’plam yuqoridan chegaralangan to’plam deyiladi, son esa to’plamning yuqori chegarasi deyiladi.

Yuqoridan chegaralangan to’plamning yuqori chegaralarining eng kichigi ning aniq yuqori chegarasi deyiladi va (supremum) kabi belgilanadi.

Agar shunday o’zgarmas son mavjud bo’lsaki, uchun tengnsizlik bajarilsa, to’plam quyidan chegaralangan deyiladi, son esa to’plamning quyi chegarasi deyiladi.

Quyidan chegaralangan to’plamning quyi chegaralarining eng kattasi ning aniq quyi chegarasi deyiladi va (infimum ) kabi belgilanadi.

Haqiqiy sonning moduli (absolyut miqdori) tushunchasi matematikada ko’p ishlatiladigan tushunchalardan hisoblanadi.

haqiqiy son musbat bo’lsa, shu sonning o’ziga, manfiy bo’lsa, unga qarama-qarshi ishorali soniga haqiqiy sonning moduli (absolyut miqdori) deyiladi va u kabi belgilanadi. Nol sonining moduli nolga teng. Yani: . Demak,


Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

Haqiqiy sonning moduli bir qator xossalarga ega:

1. Ixtiyoriy haqiqiy son uchun

, , x , munosabatlar o’rinlidir.

2. Biror musbat haqiqiy son berilgan bo’lsin. Agar haqiqiy son tengsizlikni qanoatlantirsa, u tengsizlikni ham qanoatlantiradi va aksincha. Demak, . Agar bo’lsa, va bo’ladi.

3. Ikki haqiqiy va sonlar uchun

; ;

; ;

4.Har qanday haqiqiy son uchun munosabat o’rinlidir.

1. 
   sonini modul belgisiz yozing.
   

Yechish: bo’lganligi uchun, haqiqiy son modulining ta’rifiga asosan .

2. sonini modul belgisisiz yozing.

Yechish: bo’lganligi uchun, haqiqiy son modulining ta’rifiga asosan .

3. va sonlarni taqqoslang.

Yechish: 6 . Demak, .

4. ifodani qiymatini va bo’lganda hisoblang.

Yechish:

5. Quyidagi ifodalarni modul belgisisiz yozing.

1) ; 2) ; 3) .

Yechish: 1) Bu yerda o’rnida ni qaraymiz. Modulning ta’rifiga asosan quyidagiga ega bo’lamiz:

yoki

2) Bu yerda o’rnida ni qaraymiz. Modul ta’rifidan foydalanamiz:

yoki

3) Bu yerda o’rnida bo’lib modulga bog’liq emas. Modul ta’rifidan foydalanamiz.

yoki
Mustaqil yechish uchun topshiriqlar:

1.Taqqoslang:

1. 
   va ; e) va ;
   
2. 
   va ; g) va 0;
   

d) va ; h) va 0.

2. va ning berilgan qiymatlarida quyidagi ifodalarning qiymatlarini hisoblang.

a) , , ;

b) , , ;

c) , , ;

d) , , ;

3. Ifodani modul belgisisiz yozing.

a); b) ; c) ; d) ;

e) ; g) ;

m) ; k) ;

4. tengsizlik yechilsin.

5. tengsizlik yechilsin.

6. tengsizlik yechilsin.

7. tengsizlik yechilsin.

8. Agar birdan kichik bo’lmagan har qanday qiymatlarni qabul qilsa, u holda o’zgaruvchining qabul qiladigan qiymatlar to’plamini toping.

9. Quyidagi tengsizliklar yechilsin.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

10. Agar qiymatlarni qabul qilsa, u holda o’zgaruvchining qiymatlar to’plamini toping.

11. Quyidagi tenglamalar yechilsin.

1) ; 2) ; 3) .

Aim.uz