Mavzu: Emden-Fauler tenglamalari asimptotikalari: finit, davom ettiriluvchi, davom ettirilmaydigan yechimlar. Reja

Mavzu: Emden-Fauler tenglamalari asimptotikalari: finit, davom ettiriluvchi, davom ettirilmaydigan yechimlar.
Reja:

1. 
   Chiziqli bo’lmagan 2-tartibli oddiy differinsial tenglamalar uchun “Etalon” tenglamalar metodi.
   
2. 
   Emden-Fauler tenglamalari
   
3. 
   Emden-Fauler tenglamalari asimptotikalari.
   

Tayanch so’z va iboralar: chiziqli bo’lmagan, Emden-Fauler tenglamasi, umumlashgan tenglamalar, asimptotika, VKB – yechim, forma Xarda.

1. 
   Chiziqli bo’lmagan 2-tartibli oddiy differinsial tenglamalar uchun “Etalon” tenglamalar metodi.
   

[ ] kesmada Emden-Faulerning umumlashgan tenglamasini qaraylik:
(1)
Ayrim ta’riflarni keltiramiz:
2-ta’rif: (1) tenglamaning yechimi davom ettiriluvchi deyiladi, agarda u birorta cheksiz oraliqda aniqlangan bo’lsa va davom ettirilmaydigan deyiladi, agarda yechim birorta chekli kesma ( , ) da aniqlangan bo’lsa va uni nuqtadan tashqariga davom ettirish mumkin bo’lmasa.
3-ta’rif: (1) tenglamaning yechimi tebranmas deyiladi, agarda qaralayotgan intervalda bittadan ortiq 0 ga ega bo’lmasa va tebranuvchan deyiladi, agarda qaralayotgan intervalning kamida 2 ta nuqtasida 0 ga aylansa.
4-ta’rif: (1) tenglamaning yechimi maxsus (finit) deyiladi, agarda u chekli interval ( , ) da 0 dan farqli va bo’lganda 0 ga aynan teng bo’lsa.

2. 
   Yechim asimptotikasi
   

Ta’kidlash lozimki (1) tenglamaning yechimi asimptotika soni tadqiq etishda, ushbu ko’rinishdagi almashtirish muhim ahamiyatga ega.
(2)
Bu yerda , , lar ma’lum funksiyalar bo’lib, bunda da agar
, yoki o’rinli , bu (1) tenglama yechimining asimptotik turg’unligini da tadqiq etishga imkon beradi . Bu holda ga nisbatan olingan differensial tenglama , [ ], funksiyalarni mos ravishda tanlaganda deyarli avtonom bo’ladi .
Endi ( 17.12) dan m=0 da almashtirish (17.13) ni qo’llash orqali olingan tenglamani qaraymiz .
(3)
Ushbu tenglamaning yechimini baholashda quyidagi lemmalardan foydalaniladi .
1-lemma: funksiya uzluksiz hamda , funksiyalat esa musbat yarim o’qdagi har bir chekli intervalda integrallanuvchi bo’lsin.
So’ngra ga
, ,
(i=2,3),
bu yerda, . Agarda ushbu tenglama tebranuvchi yechimga ega bo’lmasa, u holda tenglama (7.14) ning ixtiyoriy tebranmas davom ettiriluvchi notrivial yechimi uchun yoki yoki uchun, bu yerda - oxirgi tenglamaning biror-bir notrivial echimi.