1-§. Birinchi tur egri chiziqli integrallar Tekis moddiy yoy massasi haqidagi masala

2. Birinchi tur egri chiziqli integrallarning hossalari
1º. Agar  funksiya AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiya ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,  tenglik o‘rinli.
2º. Agar  va  funksiyalarning har biri AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lsa, u holda  funksiyalar ham AB yoy bo‘yicha integrallanuvchi bo‘lib,

tengliklar o‘rinli.
3º. (additivlik xossasi). Agar AB yoy biror C nuqta orqali ikkita AC va CB yoylarga ajratilgan bo‘lib,  funksiya AC va CB yoylarning har birirda integrallanuvchi bo‘lsa, u holda u AB yoy bo‘yicha ham integrallanuvchi bo‘lib,

tenglik o‘rinli.
4º. Agar  integral mavjud bo‘lsa, u holda  integral ham mavjud bo‘lib,  tenglik o‘rinli.
Bu xossalarni integral yig‘indi limiti sifatida osongina keltirib chiqarish mumkin.
3. Birinchi tur egri chiziqli integralni hisoblash
Egri chiziqdagi M nuqtaning holati boshlang‘ich A nuqtadan hisoblangan  yoy uzunligi s bilan aniqlanishi mumkin. U holda AB egri chiziq  tenglamalar bilan parametrik ifodalanadi va egri chiziq nuqtalarida berilgan  funksiya esa o‘zgaruvchi  ning murakkab funksiyasi  ga keltiriladi.
AB yoyning  bo‘linish nuqtalariga mos s ning qiymatlarini  bilan belgilasak, ravshanki,  bo‘ladi.  yoydan ixtiyoriy tanlangan  nuqtaga mos kelgan s ning qiymatini  orqali belgilasak, u holda (2) integral yig‘indini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(4)
Bu  funksiyaga mos kelgan integral yig‘indi va (2), (4) larga binoan,  bo‘ladi.
Agar  funksiya AB yoyda uzluksiz bo‘lsa, u holda  funksiyalar [0;S] segmentda uzluksiz bo‘lib,  va  integrallar mavjud va
(5)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda (R) Riman ma’nosidagi integralni bildiradi.
a) AB yoy  parametrik tenglama bilan berilgan to‘g‘rilanuvchi chiziq bo‘lsin.  funksiyalar  oraliqda uzluksiz bo‘lsin. Agar  o‘suvchi bo‘lsa, u holda  tenglik o‘rinli.
(5) tenglikning o‘ng tomonida o‘zgaruvchini almashtirib,
(6)
formulani hosil qilamiz.
b) AB yoy  tenglama bilan berilgan bo‘lib,  va  lar  oraliqda uzluksiz bo‘lsa, u holda (6) formula
(7)
ko‘rinishni oladi.
Agar chiziq  tenglik bilan berilgan bo‘lsa, u holda  formulaga ega bo‘lamiz.