1-§. Birinchi tur egri chiziqli integrallar Tekis moddiy yoy massasi haqidagi masala

1-§. Birinchi tur egri chiziqli integrallar
1. Tekis moddiy yoy massasi haqidagi masala. Tekislikda to‘g‘rilanuvchi AB yoy berilgan bo‘lib, uning har bir (x,y) nuqtasidagi chiziqli zichligi  bo‘lsin (1-rasm).
1-rasm
Egri chiziq yoyi massasini topish talab qilinsin.
Shu maqsadda egri chiziqni  nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka bo‘lamiz ( deb olamiz).
Egri chiziqning  yoyidan biror  nuqta olib, shu nuqtadagi zichlik  ni hisoblab chiqamiz. Bu yoyning barcha nuqtalardagi zichlik ham taqriban ana shu  ga teng deb hisoblasak va  yoy uzunligini  bilan belgilasak, bu yoyning massasi  uchun ushbu  taqribiy ifodani hosil qilamiz. Izlanayotgan umumiy massa uchun esa
(1)
ifoda hosil bo‘ladi.
uzunliklarning eng kattasini  bilan belgilab, limitga o‘tsak, aniq  formulaga ega bo‘lamiz.
Matematika va mexanikadagi ko‘pgina masalalarni yechish (1) ko‘rinishdagi yig‘indilarning limitini topishga olib keladi.
Umuman, shu xildagi limitlarni o‘rganaylik. Shu maqsadda ko‘rilayotgan masaladan bir oz chetga chiqamiz. Tekislikdagi to‘g‘rilanuvchi uzluksiz AB yoyda aniqlangan  funksiya olib, yuqorida tasvirlangan jarayonni takrorlaymiz: AB yoyni elementar  yoylarga ajratib, ularda bittadan  nuqtalar tanlaymiz va funksiyaning shu nuqtalaridagi qiymatlari  larni hisoblab,
(2)
yig‘indini tuzamiz, bu  funksiyaning AB yoydagi integral yig‘indisi deyiladi.
(2) yig‘indi umuman olganda AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va  bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq.
Ta’rif. Agar  da (2) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u AB yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va  bo‘lakchalardan  nuqtalarni tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, bu limit  funksiyadan AB yoyi uzunligi bo‘yicha olingan birinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi: .
Bu holda  funksiya AB yoy boyicha integrallanuvchi deyiladi.
Bu yerda s-AB yoyning uzunligi va ds-elementar  uzunliklarni eslatadi.
Shunday qilib, yuqoridagi moddiy egri chiziqning massasi uchun chiqarilgan ifodani quyidagicha yozish mumkin:
(3)