|
1.5 Jordan forma operator matrica teoremasi
Sızıqlı operator A sızıqlı keńislik n ólshemli kompleks sanlar maydanında háreket qilsin jáne onıń xarakteristik kóp aǵzalılarına iye bolsın.
kórinis:
,
Bul jerde de ,
.
Keyin bul keńislik A operatorınıń menshikli vektorları hám baylanısqan vektorlarınan shólkemlesken bazis bar bolıp, ol jaǵdayda operator matricasi blok -qiyiq formaǵa iye (Jordan forması dep ataladı )
,
Blok dioganal matricası
Bul jerde dıń menshikli ma`nisine sáykes keletuǵın Jordan blokı bolıp tabıladı. Bul tiykar Jordan dep ataladı.
Dúzilgen teorema sızıqlı operator qálegen maydan baǵanade sızıqlı keńislik háreket etkende de tuwrı boladı, lekin xarakterli kóp aǵzalılardıń barlıq túbirleri sol maydanǵa tiyisli.
Keliń, bir neshe mısallardı kórip shıǵayıq. Keńisliktiń ólshemin n, hám algebralıq hám geometriyalıq kopmúyeshliktiń belgileń saykes túrde ǵa tiyisli baha.
1-mısal. n=2, bolsın. Keyin operator matricasın diogonal formaǵa keltiriliwi múmkin:
.
2-mısal. n=4 bolsın hám operator eki bolegi hám menshikli mániske iye. Onda:
.
3-mısal. n=4 bolsın hám operator eki bolegi hám menshikli mániske iye. Onda:
.
4-mısal. n=4 bolsın hám operator eki bolegi hám menshikli mániske iye. Onda:
.
1.6. Jordannıń tiykarın hám matricaniń Jordan formasın qurıwdıń birinshi usılı
Meyli - operatordıń menshikli ma`nisi, sanınıń m hám s algebralıq hám geometriyalıq kópligi. Keliń, sızıqlı ǵárezsiz konstruktsiyani suwretleylik berilgen ge uyqas keliwshi m menshikli vektorlar hám baylanısqan vektorlar kompleksi. Jordan matricadaǵı bul vektorlar kompleksi Jordan blokı ǵa sáykes keledi.
Belgileń:
bizge belgili , qolaylıq ushın biz bunı shama etemiz , onda .
Dáreje bolǵanı ushın bizde bar, sol sebepli:
Teorema. q natural sanı bar bolıp, ol:
Bular. sanı q dan úlken bolǵan barlıq yadrolar yadrosına tuwrı keledi, bunnan tısqarı, .
Berilgen menshikli baha ga sáykes keletuǵın Jordan tiykarınıń bólegin tómendegishe dúzemiz:
B matricasın izbe-iz natural dárejelerge kóterip, biz q indeksin tabamız, odan baslap B matricasınıń dárejeleri dárejesi tómenlewdi toqtatadı.
yadroların kórip shıǵıń, vektorları tamamlansin keńisliktiiń qálegen oblastı, keńisliktiń tiykarına shekem, Olardıń muǵdarı . Bul vektorlar q biyikliktegi baylanısqan vektorlar bolıp, olardıń hár biri Jordan tiykarına kirgizetuǵın q vektorlardan ibarat shınjır payda etedi. Hár bir bunday shınjır q tártipli Jordan ketekshesine sáykes keledi; Sonday etip, kompozitsiyada A operatorı matricasınıń Jordan forması q tártipli Jordan kateklerin óz ishine aladı.
yadroların, sonıń menen birge vektorların kórip shıǵıń ; Olardıń sanı :
.
Bul vektorlarǵa keńislikn vektorların qosamız, sonday etip
vektorlar sisteması yadrosınıń qálegen tiykarın tiykarına toldırdı. vektorları F10 dıń baylanısqan biyiklik vektorları bolıp, olardıń hár biri, birinshiden, Jordan tiykar vektorları shınjırına, ekinshiden, tártipli Jordan ketekshesine sáykes keledi. Qosılǵan vektorları sanı :
tártibindegi Jordan kletkaları sanı da tap usınday boladi.
hám yadroların hám vektorların kórip shıǵıń vektorlar (eger olar jetkilikli bolmasa ), keńislikn vektorların qosamız, sonday etip
vektorlar kompleksi F6 keńisliksiniń qálegen tiykarın keńislik tiykarına toldıradı. qosılǵan vektorlar sanı tomendegine teń:
.
tártipli Jordan keteksheleri sanı birdey boladı. Biz processti tap sonday dawam ettiremiz. Aqır-aqıbetde, yadro hám vektorlardı kórip shıǵıń :
.
ge tiyisli vektorlar sisteması
Eger bul sistema keńisliksiniń tiykarın tashkil etpese, ol halda dıń menshikli vektorların qosamız, sonday etip pıtken sistema de bazis boladı. Sonday etip, biz Jordan tiykarın qurıw procesin suwretlep berdik hám operator matricasınıń Jordan formasınıń bir bólegi bolǵan k tártipli Jordan keteksheleri sanın tómendegi formula boyınsha tabıw múmkinligin anıqladiq:
Berilgen ǵa sáykes keletuǵın m vektorlardan shólkemlesken Jordan tiykarınıń qurılǵan bólegi (m - bul menshikli mánistiń algebralıq kópligi), biz tekshenı jazamız (" Jordan tekshesi").
Jordan tekshelerı
Kesteniń barlıq vektorları sızıqlı ǵárezsiz bolıp, olardıń sanı m ǵa teń (jeke mánistiń algebralıq kópligi ). Bul kesteniń hár bir baǵanai bir Jordan Ketekshesine tuwrı keledi, olardıń tártibi baǵana bálentligine teń. Jordan tekshesınıń baǵanaleri sanı, yaǵnıy. menshikli mániske sáykes keletuǵın blok daǵı Jordan kletkalarınıń ulıwma sanı bul menshikli mánistiń geometriyalıq kópligi s ǵa teń.
Biz tiykardıń qurılǵan bóleginiń vektorların Jordan tekshesınıń baǵanalerine kóre nomerleymiz: hár bir baǵana ishinde tómenden joqarıǵa hám baǵanalerdiń ózleri qálegen tártipte.
Mısalı, Jordan tekshesınıń birinshi baǵanasınıń vektorları bolsın. Keyin:
Jordan bazisiniń bul vektorları toparı ( menshikli vektorı, oǵan biriktirilgen vektorları ) matricasınıń birinshi qustunlariga tuwrı keledi, olar tómendegishe kórinedi:
,
bul jerde - tiykarǵı diogonalda nomeri bolǵan q tártipli Jordan blokı.
Jordan tekshesınıń ekinshi baǵanai vektorları menen anıqlanǵan matricasınıń keyingi q baǵanalerinde Jordan ketekshesi sonday jaylasqanki, nomerleri matricasınıń tiykarǵı qiyiqida, elementler bolsa kletkadan sırtda jaylasqan. nolǵa teń. Tap sonday, berilgen ushın matricasınıń m ta baǵanain alamız. Bul m baǵanade Jordan blokı bar. Basqa bahalar ushın bul sxema tákirarlanadı, bunıń nátiyjesinde biz Jordan matricasi hám sáykes keletuǵın Jordan tiykarın alamız.
Do'stlaringiz bilan baham: |
