Sonli ketma ketlik va uning xossalari. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari. Reja

Sonli ketma ketlik va uning xossalari. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari.


Reja

1. 
   Sonlar ketma-ketligi tushunchasi.
   
2. 
   Sonlar ketma-ketligining limiti.
   
3. 
   Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralanganligi.
   
4. 
   Tengsizliklarda limitga o‘tish.
   
5. 
   Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar.
   
6. 
   Cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar.
   

1. Sonlar ketma-ketligi tushunchasi.
Biz birinchi bobda ixtiyoriy E to‘plamni F to‘plamga akslantirish:
f : E  F
tushunchasi bilan tanishgan edik.
Endi E  N , F  R deb, har bir natural n songa biror haqiqiy x_n sonini mos qo‘yuvchi
f : n  x_n , ( n 1, 2,3,...) (1)
akslantirishni qaraymiz.
1-ta’rif. 1- akslantirishning akslaridan iborat ushbu
x₁ , x₂ , x₃ , ..., x_n , ... (2)
to‘plam sonlar ketma-ketligi deyiladi. Uni { x_n} yoki x_n kabi belgilanadi.
x_n ( n 1, 2,3,...) sonlar (2) ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan,

0. 
   x_n  ( 1) ⁿ :  1, 1,  1, ..., ( 1) ⁿ ,...
   
1. 
   x_n  1: 1, 1, 1, ..., 1,...
   

0. 
   x_n 0, 3; 0, 33; 0, 333;...; 0, 333...3; ...
   

lar sonlar ketma-ketliklaridir.
Biror { x_n} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
2-ta’rif. [1, p.130, def. 6.1.16] Agar shunday o‘zgarmas M soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy x_n ( n 1, 2,3,...) uchun x_n  M tengsizlik bajarilsa (ya’ni  M, n  N : x_n  M bo‘lsa), { x_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.
3-ta’rif. Agar shunday o‘zgarmas m soni mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy x_n ( n1, 2,3,...) uchun x_n  m tengsizlik bajarilsa (ya’ni,m,nN:x_nm bo‘lsa), {x_n} ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.
4-ta’rif. Agar{ x_n} ketma-ketlik ham yuqoridan,ham quyidan chegaralangan bo‘lsa (ya’ni m,M,nN:mx_nM bo‘lsa),{x_n} ketma-ketlik chegaralangan deyiladi.
1-misol. Ushbu

ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin.

◄ Ravshanki, n  N uchun

bo‘ladi. Demak, qaralayotgan ketma-ketlik quyidan chegaralan-gan.

0  ( n  2) ^2  n ^2  4n  4

bo‘lib, undan 4n  4  n^2 ya’ni,

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikningyuqoridan chegaralanganligini bildiradi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan ►

5-ta’rif. Agar { x_n} ketma-ketlik uchun

M  R,  n₀  N : x_n0  M

bo‘lsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi.


2. Sonlar ketma-ketligining limiti.
Aytaylik, a  R son hamda ixtiyoriy musbat  son berilgan bo‘lsin.


6-ta’rif. Ushbu
U _ ( a )  {x  R: a    x  a   }  ( a   , a   )

to‘plam a nuqtaning  - atrofi deyiladi.
Faraz qilaylik { xn} ketma-ketlik va a  R soni berilgan bo‘lsin.
7-ta’rif. [2,p.68, def. 3.5] Agar ixtiyoriy   0 son olinganda ham shunday n0 natural soni mavjud bo‘lsaki, n  n0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun
				xn  a				(3)
tengsizlik bajarilsa, (ya’ni
  0, n0  N , n  n0 : | xn  a | 
bo‘lsa), a son { xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi va

a  lim x_n yoki n  da x_n  a
n


kabi belgilanadi.
Ravshanki, yuqoridagi (3) tengsizlik uchun

| x_n  a |   a    x_n  a  

ya’ni, x_n U _ ( a ), ( n  n₀ ) bo‘ladi. Shuni e’tiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha ta’riflasa bo‘ladi.

8-ta’rif. [1, p.128, def.6.1.5] Agar a nuqtaning ixtiyoriy U _ ( a) atrofi olinganda ham { x_n} ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo‘lsa, a son { x_n} ketma-ketlikning limiti deyiladi.

Yuqorida keltirilgan ta’riflardan ko‘rinadiki  ixtiyoriy musbat son bo‘lib, natural n0 bo‘lib, natural n0 soni esa ga va qaralayotgan ketma-ketlikka bog‘liq ravishda
topiladi.
2-misol. Ushbu						xn  c (c  R, n 1, 2,3,...)
ketma-ketlikning limiti c ga teng bo‘ladi.
◄Haqiqatan ham, bu holda    0 ga ko‘ra n0 1 deyilsa, unda n  n0 uchun bo‘ladi. Demak, 3-misol. Ushbu

ketma-ketlikning limiti 0 ga teng bo‘lishi isbotlansin:
.
Ravshanki,

bo‘lib, tengsizlik barcha bo‘lganda o‘rinli. Bu holda



deyilsa, ([ a ]  a sonidan katta bo‘lmagan uning butun qismi), unda n  n₀ uchun

bo‘ladi. Ta’rifga binoan
. ►


4-misol. Aytaylik, a  R, a 1 bo‘lsin. U holda



bo‘lishi isbotlansin.
a  1   deylik. Unda   a  1  0 va Bernulli tengsizligiga ko‘ra

(1   ) ⁿ  1  n  n

bo‘lib, n  N da

bo’ladi. Demak,

tengsizlik barcha

bo‘lganda o‘rinli. Agar

deyilsa, ravshanki, n  n₀ uchun

bo'ladi. Demak,

5-misol. Ushbu ketma-ketlikning limiti 1 ga teng bo‘lishi isbotlansin.
◄ Ixtiyoriy   0 son olamiz. So‘ng ushbu

tengsizlikni qaraymiz. Ravshanki,

Unda yuqoridagi tengsizlik

ko‘rinishga keladi. Keyingi tengsizlikdan

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, limit ta’rifidagi n₀  N sifatida olinsa (  0 ga ko‘ra n₀  N topilib), n  n₀ uchun x_n  1   bo‘ladi. Bu esa

bo‘lishini bildiradi.►
6-misol. Faraz qilaylik, a  R, a 1 va  R bo‘lsin. U holda

bo‘lishi isbotlansin.
Shunday natural k sonini olamizki bo’lsin. Endi bo’lishini e’tiborga olib, , ya’ni deymiz. Unda Bernulli tengsizligiga ko‘ra

bo‘lib,  n  N da

bo‘ladi. Bu holda

deyilsa,  n  n₀ uchun

bo‘ladi. Demak,



7-misol. Ushbu

tenglik isbotlansin.
Ravshanki,    0 va  n  N uchun

bo‘ladi. Agar 10^ 1 bo‘lishini e’tiborga olsak, 6-misolga ko‘ra
da
ekanini topamiz. Unda ta’rifga ko‘ra 1 soni uchun

bo‘ladi. SHunday qilib,  n  n₀ uchun bo’ladi. Demak, .
8-misol. Ushbu

ketma-ketlikning limiti mavjud emasligi isbotlansin.

5888. 
      Teskarisini faraz qilaylik. Bu ketma-ketlik a limitga ega bo‘lsin. Unda ta’rifga binoan,
      
5889. 
        0, n  N , n  n : | ( 1) ⁿ  a | 
      

bo‘ladi.
Ravshanki, n juft bo‘lganda , toq bo’lganda , ya’ni bo’ladi. Bu tengsizliklardan foydalanib topamiz:

0. 
   | (1  a )  (1  a ) ||1  a |  |1  a | 2 .
   
   23. 
       Bu tengsizlik  1 bo‘lgandagina o‘rinli. Bunday vaziyat   0 sonining ixtiyoriy bo‘lishiga zid. Demak, ketma-ketlik limitga ega emas. ►
       
   24. 
       Teorema. [1, p.128, prop. 6.1.7] Agar x_n ketma-ketlik limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.
       

Teskarisini faraz qilaylik.x_nketma-ketlik ikkita a va b a  blimitlarga ega bo‘lsin:

lim x  a,	lim x  b	( a  b)
n  ^n	n ^n

Limitning ta’rifiga ko‘ra

  0,

n0  N , n  n0 : | xn  a | ,

  0,

n0 ^' N , n  n0

: | xn  b | 

bo‘ladi.

Agar n0 va n0^' sonlarining kattasini desak unda da

,
bo’lib

bo'ladi.
Ravshanki, a  b  a  x_n  x_n  b  x_n  a  x_n  b .


D emak,    0 da a  b  2bo‘lib, undan a  b bo‘lishi kelib chiqadi. ►
Mashqlar

1. Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib ushbu

ketma-ketlikning limiti topilsin.
2. Agar lim x  a, lim y  a bo‘lsa, u holda ushbu
x₁ , y₁ ,x₂ , y₂ ,..., x_n , y_n ,...
ketma-ketlikning limiti ham a ga teng bo‘lishi isbotlansin.
3. Agar lim xn  a bo‘lsa, u holda
n

bo‘lishi isbotlansin.

x_n  sonlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.