Sonli ketma ketlik va uning xossalari. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari. Reja

4-teorema. Agar x_n  va z_n  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,
1) lim x_n  a, lim z_n  а
n n
n  N uchun x_n  y_n  z_n bo‘lsa, u holda y_n  ketma-ketlik yaqinlashuvchi va

lim yn  а
n
bo‘ladi.
◄ Shartga ko‘ra
lim xn  a ,	lim zn  а.
n	n
Limit ta’rifiga binoan:
  0 , n0^'  N , n  n0^' :				xn  a						  ,
  0 , n0^''  N , n  n0^''				zn  a					

bo‘ladi. Agar n₀  max{n₀^' , n₀^'' } deyilsa, unda n  n₀ uchun

а    х_n , z_n  a  
tengsizliklar bajariladi. Teoremaning 1-shartidan foyda-lanib topamiz:
а    х_n  у_n  z_n  a   .
Keyingi tengsizliklardan
а    y_n  a   , ya’ni |y_n  a|  
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,
lim y_n  а.
n

Shuni isbotlash talab qilingan edi. ►

1-misol. Ushbu

limit topilsin.
Ravshanki, barcha n  2 bo‘lganda



bo‘ladi. Aytaylik,

bo‘lsin. Unda

(1)
v a bo‘ladi.
Bernulli tengsizligidan foydalanib topamiz:
(2)
(1) va (2) munosabatlardan

va

tengsizliklar kelib chiqadi. Agar

ekanini e’tiborga olsak, unda 4-teoremaga ko‘ra

bo‘lishini topamiz. ►


2-misol. Ushbu



limit topilsin.
Ravshanki,


Demak,
.
4-teoremadan foydalanib topamiz:



2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar.
Faraz qilaylik, x_n  hamda y_n  ketma-ketliklar berilgan bo‘lsin:

{xn } : x1 ,

x2 , x3 , ..., xn ,...

{yn } : y1 ,

y2 ,

y3 , ..., yn ,...

Quyidagi

x1  y1 ,

x2  y2 ,

x3  y3 ,

xn  yn ,...

...,

x1  y1 ,

x2  y2 ,

x3  y3 ,

...,

xn  yn ,...

x1  y1 ,

x2  y2 , x3  y3 ,...,xn  yn ,...

ketma-ketliklar mos ravishda

xn  va

yn  ketma-ketliklarning yig’indisi,

ayirmasi, ko‘paytmasi hamda nisbati deyiladi va ular

{xn  yn }, {xn  yn }, {xn  yn },

kabi belgilanadi.

xn  va yn  ketma-

5-teorema. [1, p.131, theorem 6.1.19] Aytaylik

ketliklari berilgan bo‘lib,

lim xn  a ,

lim yn  b,

(a  R, b  R)

n

n

bo‘lsin. U holda n  da

c  xn  c  a ;

xn  yn

 a  b;

xn  yn  ab;

a)

с  R да

lim (c  xn )  c  lim xn ;

n

n

b)

lim (xn  yn )  lim xn

 lim yn ;

n

n

n

c)

lim (xn

 yn )  lim xn  lim yn ;

n

n

n

xn

lim x

n

d)

lim



n

,

(b  0)

^n^ yn

lim yn

n

bo‘ladi.

Teoremaning tasdiqlaridan birini, masalan c)-ning isbotini keltiramiz.

◄ Teoremaning shartiga ko‘ra,

	lim xn  a ,					lim уn  b.
	n					n
Ravshanki,
	xn  yn  ab				xn  yn  a  yn  a  yn  b			
								(3)

0. 
   
   
1. 
   {y_n  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lganligi sababli u 1-teoremaga ko‘ra chegaralangan bo‘ladi:
   

M  0, nN: | y_n |  M

Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib topamiz:

berilgan hamda ga ko‘ra shunday n₀^'  N topiladiki, n  n₀^' uchun

bo‘ladi.
Shuningdek, ga ko‘ra shunday n^{' '}  N topiladiki, n  n^{' '} uchun

bo’ladi.

Agar n₀  max{n₀^' , n₀^'' } deyilsa, unda n  n₀ uchun bir yo‘la

|xn  a





,

yn  b





2М

21



a



bo‘ladi.

(3) va (4) munosabatlardan





xn  yn  ab



 M 

a





2М

21 

a



bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa

lim x_n  у_n  аb
n

bo‘lishini bildiradi. ►