Sonli ketma ketlik va uning xossalari. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari. Reja

1-ta’rif. Agar x_n ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.
1. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralanganligi. Tengsizliklarda limitga o‘tish.


1-teorema. [1, p.131, Corollary 6.1.17] x_n  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u chegaralangan bo‘ladi.
Aytaylik,
lim x_n  a, ( a  R)
n


bo‘lsin. Limit ta’rifiga ko‘ra
  0,n₀N,nn₀; |x_na|

bo‘ladi. Demak, n  n0 uchun

a    xn  a  

bo‘ladi. Agar

max 

a  

a  

 M

,

,

x1

,

x2

, ...,

xn0

deyilsa, u holda, n  N uchun

tengsizlik bajariladi. Bu esa xn ketma-ketlikning chegaralanganligini bildiradi.

2-teorema. Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi va

bo’lib bo’lsa, u holda shunday topiladiki, bo’lganda

bo'ladi.

◄ Aytaylik,
lim xn  a,		a  p	( p  R)
n
bo‘lsin.  0 sonining ixtiyoriyligidan foydalanib,   a  p deb qaraymiz.
Ketma-ketlik limiti	ta’rifiga binoan,		   0	uchun, jumladan,
0    a  p uchun, shunday	n0  N topiladiki,		n  n0 bo‘lganda
| xn  a |  	   xn  a  

bo‘ladi. Ravshanki,
0    a  p  p  a  ,

0. 
     x_n  a    a    x_n .
   

Bu tengsizliklardan n  n₀ bo‘lganda

x_n  p
bo‘lishi kelib chiqadi. ►
( a  q hol uchun ham teorema yuqoridagidek isbot etiladi).


3-teorema. Agar x_n  va y_n  ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib,

1) lim xnc  a,

lim yn  b;

n

n

2)

n  N учун

xn  yn

(xn  yn )

bo‘lsa,

u holda

a  b (а  b) bo‘ladi.

◄ Shartga ko‘ra

lim xn a ,

lim y

n

 b .

n

n

Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan:

  0 , n0^'  N , n  n0^' :

xn  a

  ,

bo‘ladi.

  0 , n0^''  N , n  n0^''

yn  b



Agar

n max{n^'

, n ^''} deyilsa, unda n  n

0

uchun bir yo‘la

0

0

tengsizliklar bajariladi.

xn  a

  ,

yn  b



Ravshanki,

|xn  a   а    xn  a   ,

|yn  b   b    yn  b   .

Bu tengsizliklardan hamda teoremaning 2-shartidan foydalanib topamiz:

а    x_n y _n  b   .
Keyingi tengsizliklardan


а    b   , a  b  2

va   0 bo‘lgani uchun a  b  0 , ya’ni a  b bo‘lishi kelib chiqadi.

Xuddi shunga o‘xshash, lim xn  a, lim yn  b hamda n  N uchun
n n
x_n  y_n bo‘lishidan a  b tengsizlik kelib chiqishi ko‘rsatiladi. ►