Смешанное произведение векторов

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНОГО СПЕЦИАЛНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН УРГЕНЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико-математический факультет
Направление математический анализ 214 группа студент
Ибрагимова Нажотбека
Из “Aналитической геометрии”
КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Смешанное произведение векторов

Выполнило: Ибрагимов Н.

Научний руководитель: Сапарбаева Д.
ПЛАН

1. 
   Введение
   
2. 
   Основная часть
   

1.Правые и левые тройки векторов
2.Смешанное произведение
3.Выражение смешанного произведения в координатах

3. 
   Заключение
   
4. 
   Список литературы
   

Введение
Упорядоченной тройкой или просто тройкой векторов называется совокупность трех векторов, в которой указан их порядок: какой является первым, какой-вторым, какой-третьим.При записи тройки векторов они всегда располагаются в порядке их номеров.

Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если эти векторы, отложенные от одного начала, располагаются так же, как как расставленные (примерно под прямыми углами) пальцы правой (левой) руки: большой палец — по первому вектору, указательный — по второму, средний — по третьему (рис. 65). Тройку векторов, отложенных от одной точки общего их начала, — будем называть трехвекторником. Если векторы компланарны, трехвекторник назовем плоским. Соответственно только что данному определению различаются правые и левые трехвекторники. Так как векторы всегда можно отложить от одной точки, то говорим ли мы здесь о тройках или трехвекторниках — безразлично. Точно так же система прямолинейных координат называется правой (левой), если основные ее векторы образуют правую (левую) тройку.
Указанное правило различения правых и левых троек равносильно каждому из следующих четырех.
1. Трехвекторник правый, если третий вектор направлен от плоскости двух первых в ту сторону (в то полупространство), куда движется правый винт, когда его головка вращается от первого вектора ко второму (рис. 66, а). Если то же будет для левого винта, то трехвекторник левый.
2. Трехвекторник правый, если при взгляде на него изнутри построенного на нем параллелепипеда (из первого квадранта построенной на нем системы координат) векторы видны так, что переход от первого ко второму и дальше— к третьему — происходит против часовой стрелки (рис. 66,6). Если же это переход по часовой стрелке, то трехвекторник левый.
3. Трехвекторник правый, если при взгляде на плоскость первых двух векторов со стороны третьего поворот от первого ко второму виден как идущий против часовой стрелки. Если — по часовой стрелке, то трехвекторник левый.
4. Трехвекторник правый, если после того, как вы встали на плоскость двух первых векторов со стороны третьего и протянули правую руку по первому вектору, второй вектор оказался направленным вперед (рис. 66, в). У левого трехвекторника — то же для левой руки. (Придумайте еще правила для правого (левого) трехвекторника.)
Различение правых и левых троек векторов имеет важное значение в физике — в законах электромагнетизма. Например, направление напряжения магнитного поля вокруг проводника с током определяется «по правилу правой руки». Но в геометрии самой по себе нет ни правого, ни левого, — ни пальцев, ни винтов, ни часовых стрелок. Поэтому данные наглядные определения правых и левых троек н« относятся к самой геометрии. В ней должно быть принято определение, основанное только на ее собственных понятиях; как его можно дать, мы сейчас скажем.
Определение. Выберем какой-нибудь прямоугольный трехвекторник и назовем его основным. Правыми будем называть трехвекторники, которые можно получить из основного непрерывным движением и изменением векторов без того, чтобы трехвекторник становился плоским. В противном случае трехвекторник назовем левым. При этом можно доказать, что левые трехвекторники также переводимы друг в друга, непрерывно и без обращения в плоские. Если две тройки векторов либо обе правые, либо обе левые, то говорят, что они одной ориентации. Если же одна правая, другая левая, то говорят, что они разной ориентации. Если основной трехвекторник представить пальцами правой руки, то мы получим наглядное различение правых и левых трехвекторников. Но в самой геометрии понятие правое и левое чисто условны, реально в ней только то, что есть два вида трехвекторников — две их разные ориентации.
Смешанное (скалярно-векторное) произведение
Смешанным, или скалярно-векторным , произведением тройки векторов а, ft, с называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий: (аbс) = а(bxс). (Порядок сомножителей важен, так как с x b = —(b x с); но вместе с тем а(b x с) = (bxс)а.) Теорема 1. Смешанное произведение (abc) =0 тогда и только тогда, когда векторы a, b, с компланарны. Если же они не компланарны, то (abc) равно по модулю объему параллелепипеда с ребрами a, b, с (отложенными из одной точки); (abc) > 0, если тройка a, b, с правая, (abc) <С О, если она левая.
Доказательство. Докажем сначала вторую часть теоремы как более содержательную. Пусть а, Ь, с—правая тройка векторов; мы их откладываем от одной точки. По определению
(abc) = а (bx с) = |а | | b x с | cos , (2)
где - угол между векторами a и b x c Построим на векторах a, b, с параллелепипед. Одна из его граней— параллелограмм со сторонами b, с. Примем ее за основание. По свойству векторного произведения По свойству векторного произведения ее площадь равна (рис. 70)
(3)
Другое ребро а образует с перпендикуляром к плоскости основания, направленным как b x с, угол ф. И так как тройка а, b, с правая, то вектор а направлен в ту же сторону, что b X с Поэтому угол ф острый, COS ф>0 и
| а | cos ф= h (4)
— это высота параллелепипеда.
Объем параллелепипеда вычисляется по формуле V = Sh, и из формул 3), 4) получаем V =| b X с || a |cos . Сравнивая с 2), получаем (аbс) = V
что и требовалось доказать для правой тройки. Если тройка векторов а, b, с левая, то векторы а и b X с направлены в разные стороны от плоскости векторов b, с. Поэтому угол тупой, cos < 0, и вместо (4) будет |а|соsф=-h. Поэтому получается, что (abc) = —V.
Итак, вторая часть теоремы доказана. Докажем первую ее часть. Допустим, что (аЬс) = 0, но векторы a, b, с некомпланарны. Тогда по доказанному было бы (abc)=±V , где V — объем построенного на них параллелепипеда, т. е. было бы (abc) 0. Значит, если (abc)= 0, то векторы компланарны. Пусть теперь векторы a, b, с компланарны. Если b, с коллинеарны, то bXс= 0 и (abc)= 0; если а = 0, то опять (abc) =0. Если же а и b, с неколлинеарны, так что , но все три вектора компланарны, то, значит, и что и требовалось доказать. Таким образом, теорема доказана полностью. В определении произведения (abc) векторы играют разную роль, но у параллелепипеда, на них построенного, они — ребра и, стало быть, равноправны. Поэтому из доказанной теоремы вытекает Следствие 1.
(abc) = (bca) = (cab). (5)
Доказательство. В доказательстве теоремы 1 применительно к произведению (bса) параллелепипед будет тот же, и только за основание будет принята другая грань, построенная на векторах с, а. Поэтому (bca)= ±Vt, и именно (bса)= V, так как тройка b, с, а правая, если a, b, с правая. То же будет для тройки с, b, а. ? Так как , то (acb)= а (с X b) = - а (b X с) = - (аbс) и тройка а, с, b левая, если а, b, с правая. Отсюда и из равенств (5) вытекает Следствие 2. При перестановке любых двух векторов- сомножителей- произведение (аbс) меняет знак. ?
Выражение смешанного произведения в координатах. Пусть в некоторой правой прямоугольной системе координаты векторов a, b, с будут ( ) и т. д. Тогда, пользуясь выражением в координатах для скалярного произведения и векторного произведения, по формуле 2) получим
(6)
Стоящая справа величина есть не что иное, как как определитель:

Действительно, разлагая этот определитель по элементам первой строки, мы получим формулу (6). Таким образом, смешанное произведение векторов равно определителю из их координат (относительно основной правой прямоугольной системы координат). ? Об ориентации. Если тройка a, b, с правая, то (аbс) > 0, если левая, то (аbс) < 0, и вследствие (6) это равносильно тому, что такие же знаки имеет определитель из координат вектора. Это можно превратить в определение, которое будет выглядеть так: Пусть в пространстве выбрана система прямоугольных координат, которая принята за основную. Тогда тройка некомпланарных векторов называется правой, если определитель из их координат относительно основной системы положителен; в противном случае тройка называется левой. (Подразумевается, что в определителе порядок строк соответствует порядку векторов в тройке, и порядок столбцов -порядку координат в основной системе.) Основная система координат — тройка ее основных векторов — правая, так как определитель из их координат относительно них самих равен единице:

Данное формальное определение «правого» и «левого» дает ясное алгебраическое основание для их различения. При этом очевидно, что непрерывным изменением векторов нельзя правую тройку перевести в левую, не делая «по пути» векторы компланарными, так как нельзя от положительных значений определителя перейти к отрицательным, не проходя через нуль, если элементы определителя изменяются непрерывно.
Несколько сложнее доказать, что всякую правую (как и левую) тройку можно непрерывно перевести в любую другую правую (соответственно — в левую), не делая векторы компланарными .
1.Определение скалярного произведения. Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов а и b будем обозначать символом аb. Если угол между векторами а и b равен ф, то по определению скалярное произведение этих двух векторов выражается формулой
аb= |a| |b| cos( )
Сформулируем другое определение скалярного произведения двух векторов, эквивалентное определению 1. Для этого воспользуемся понятием проекции вектора b на ось, определяемую вектором а. В соответствии с обозначениями 1 будем обозначать проекцию вектора b на ось, определяемую вектором а, символом . На основании теоремы получим = |b| cos( ) (1)
Сопоставление равенств B.29) и B.30) приводит нас к следующему выражению для скалярного произведения:
ab= |a| (2)
Конечно, в проведенных рассуждениях можно было бы поменять местами векторы а и b. При этом мы пришли бы к следующему выражению для скалярного произведения:
ab= |b| (3)
Выражения (2) и (3) приводят нас к следующему определению скалярного произведения (эквивалентному определению 1). Определение 2. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Понятие скалярного произведения векторов родилось в механике. Если вектор а изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора Ь, то работа w указанной силы определяется равенством = |a| |b| cos ,
т.е. равна скалярному произведению векторов а и b. 2. Геометрические свойства скалярного произведения. Теорема 2.10. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть векторы а и b ортогональны, -угол между ними. Тогда cos = 0 и в силу формулы скалярное произведение ab равно нулю. 2) Достаточность. Пусть скалярное произведение ab равно нулю. Докажем, что векторы а и b ортогональны. Прежде всего исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов а или b является нулевым (нулевой вектор имеет неопределенное направление, и его можно считать ортогональным любому вектору). Если же оба вектора а и b ненулевые, то |a|>0 и |b| > 0, и поэтому из равенства ab = 0 и из формулы вытекает, что cos = 0, т.е. векторы а и b ортогональны. Теорема доказана. Прежде чем сформулировать следующее утверждение, уточним понятие угла ф между векторами а и b. Приведем произвольные векторы а и b к общему началу О (рис. 2.14). Тогда в качестве угла ф между векторами аи b можно взять любой из двух указанных на рис. 2.14 углов и . В самом деле, сумма углов и равна 2 , и поэтому cos = cos , а в определение скалярного произведения входит только косинус угла между векторами. Из двух углов и один заведомо не превосходит (на рис. 2.14 не превосходит угол ).Договоримся в дальнейшем под углом между двумя векторами подразумевать тот угол, который не превосходит .
Тогда справедливо следующее утверждение. Теорема 2.11. Два ненулевых вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). Доказательство. Так как векторы а и b ненулевые, то в силу формулы (2.29) знак скалярного произведения совпадает со знаком cos ф. Но если угол ф не превосходит , то cos ф положителен тогда и только тогда, когда ф — острый угол, и отрицателен тогда и только тогда, когда ф — тупой угол. Теорема доказана.
3. Алгебраические свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов обладает следующими четырьмя свойствами:
1° ab = ba {переместительное свойство);
2° ( a)b = (ab) {сочетательное относительно числового множителя свойство);
3° (а + b)с = ас + bc {распределительное относительно суммы векторов свойство);
4° аа > 0, если а — ненулевой вектор, и аа = 0, если а — нулевой вектор .
Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 1° непосредственно вытекает из формулы (2.29). Для доказательства свойства 2° воспользуемся определением 2 скалярного произведения, т.е. формулой (2.32). Учитывая, что проекция вектора на ось обладает линейным свойством , получим

Тем самым свойство 2° доказано. Для доказательства свойства 3° снова воспользуемся формулой (2.32) и линейным свойством проекции вектора на ось ,получим
(a + b)c =| с | (а + b)=| с |
Нам остается доказать свойство 4°. Для этого заметим, что непос-
непосредственно из формулы (2.29) вытекает, что , т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора. Отсюда, в частности, вытекает, что скалярный квадрат аа положителен, когда вектор а ненулевой, и равен нулю, когда вектор а нулевой.
Доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно , не заботясь при этом о порядке векторных множителей и сочетая числовые множители. Указанная возможность будет существенно использована в следующем пункте. 4. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах. Теорема 2.12. Если два вектора a и b определены своимb декартовыми прямоугольными координатами a= { }, b = { },
то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.
ab={ . (2.33)
Доказательство. Составим из тройки базисных векторов i, j и k все возможные пары и для каждой из пар определим скалярное произведение. Учитывая, что базисные векторы являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, получим
ij = 1, ji = 0, ki = 0,
i j = 0, jj = 1, kj = 0 , (2.34)
ik = 0, jk = 0, kk=1
1. Правые и левые тройки векторов и системы координат. Определение 1. Три вектора называются упорядоченной тройкой {или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым и какой — третьим. При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти век- векторы в порядке их следования. Так, запись bас означает, что первым элементом тройки является вектор Ь, вторым — вектор а и третьим — вектор с. Определение 2. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если выполнено одно из следующих трех условий:
1° если эти векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки;
2° если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от а к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке); 3° если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами а, b, с, мы видим поворот от а к b и от него к с совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке). Легко проверить, что условия 1°, 2° и 3° эквивалентны между собой. Предоставляем читателю с помощью каждого из условий 1°, 2° и 3° убедиться в том, что тройка abc, изображенная на рис. 2.15, является правой, а тройка abc, изображенная на рис. 2.16, является левой. Замечание. Понятие правой и левой тройки теряет смысл для компланарных векторов. Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо обе являются левыми, то говорят, что эти тройки одной ориентации. В противном случае говорят, что рассматриваемые две тройки противоположной ориентации. Всего из трех векторов a, b и с можно составить следующие шесть троек: abc, bca, cab, (2.36)
bac, acb, cba. (2.37)
С помощью условия 3° определения 2 легко проверить, что все три тройки (2.36) той же ориентации, что и тройка abc, а все три тройки (2.37) имеют ориентацию, противоположную abc. Определение 3. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку. Ради определенности договоримся в дальнейшем рассматривать только правые системы координат.
2. Определение векторного произведения двух векторов. Определение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом с = [ab] и удовлетворяющий следующим трем требованиям:
1) длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на
синус угла ф между ними , т.е. |с| = | [ab] | = |а.| |b| sin ф; (2.38) 2) вектор с ортогонален к каждому из векторов а и b; 3) вектор с направлен так, что тройка векторов abc является правой . Понятие векторного произведения также родилось в механике. Если вектор b изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор а идет из некоторой точки О в точку М, то вектор с = [ab] представляет собой момент силы b относительно точки О. 3. Геометрические свойства векторного произведения. Теорема 2.13. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Доказательство. 1) Необходимость вытекает из самого определения векторного произведения: для коллинеарных векторов а и b векторное произведение по определению равно нулю (см. формулу 2.38) и сноску )). 2) Достаточность. Пусть векторное произведение [ab] равно нулю. Докажем, что векторы а и b коллинеарны. Прежде всего исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов а или b является нулевым (нулевой вектор имеет неопределенное направление, и его можно считать коллинеарным любому вектору). Если же оба вектора а и b ненулевые, то |а| >0 и |b| > 0, и поэтому из равенства [ab]= 0 и из формулы (2.38) вытекает, что sin ф = 0, т.е. векторы а и b коллинеарны. Теорема доказана. Теорема 2.14. Длина (или модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b . Доказательство. Так как площадь параллелограмма равна про- произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла меж- между ними, то теорема непосредственно вытекает из формулы (2.38).
Чтобы получить следствие из теоремы 2.14, введем понятие орта. Определение. Ортом произвольного ненулевого вектора с назовем единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с направление. Следствие из теоремы 2.14. Если е — орт векторного произведения [ab], a S — площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и Ь, то для векторного произведения [ab] справедлива следующая формула: [ab] = Se. (2.39)
Замечание. Из определений орта и векторного произведения вытекает, что тройка abe является правой (ибо тройка ab[ab] является правой). Следующее свойство устанавливает важную для дальнейшего формулу. Теорема 2.15. Если с — какой-нибудь вектор, п — любая содержа- содержащая его плоскость, е — единичный вектор, лежащий в плоскости к и ортогональный к с, g — единичный вектор, ортогональный к плоско- плоскости п и направленный так, что тройка ecg является правой, то для
любого лежащего в плоскости п вектора а справедлива формула
[ас] = |с| g. (2.40) Доказательство. Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой и правой частях (2.40): 1) имеют одинаковую длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление. В силу теоремы 2.14 | [ас] | =S, где S — площадь построенного на приведенных к общему началу векторах а и с параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (2.40), равна | с | | |, т.е. тоже равна S, ибо если за основание указанного параллелограмма принять вектор с, то высота его h будет равна | |, (рис. 2.17). Коллинеарность векторов, стоящих в левой и правой частях (2.40), вытекает из того, что оба эти вектора ортогональны к плоскости к (вектор [ас] в силу определения векторного произведения, а вектор • | с | g в силу того, что вектор g по условию ортогонален к плоскости ).
Остается проверить, что векторы, стоящие в левой и правой частях (2.40), одинаково направлены. Для этого достаточно заметить, что векторы [ас] и g одинаково направлены (противоположно направлены), когда тройка acg является правой (левой), т.е. когда векторы а и е лежат по одну сторону от с (по разные стороны от с 0) и проекция является положительной (отрицательной), но это и означает, что векторы [ас] и • | с | g всегда одинаково направлены. Теорема доказана.
4. Смешанное произведение трех векторов. Пусть даны три произвольных вектора a, b и с. Если вектор а векторно умножается на вектор b , а затем получившийся при этом вектор [ab] скалярно умножается на вектор с, то в результате получается число [ab] с, называемое смешанным произведением векторов a , b и с. Геометрический смысл смешанного произведения поясняет следую- следующая теорема. Теорема 2.16. Смешанное произведение [ab] с равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b и с, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, и со знаком минус, если тройка abc левая. Если же векторы a, b и с компланарны, то [ab] с равно нулю. Доказательство. Прежде всего, исключим тривиальный случай, когда векторы а и b коллинеарны. В этом случае векторы a, b и с компланарны , и нам требуется доказать, что смешанное произведение [ab] с равно нулю. Но последнее очевидно, ибо векторное произведение [ab] двух коллинеарных векторов а и b равно нулю. Остается рассмотреть случай, когда векторы a и b не коллинеарны. Обозначим через 5 площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b, а через е — орт векторного произведения [ab]. Тогда, как доказано в предыдущем пункте, справедлива формула (2.39). С помощью этой формулы и формулы (2.31) для скалярного произведения получим
[ab] с = (Se) с = S(ec) = S | е | • = S• (2.41)
Сначала предположим, что векторы a,b и с не компланарны. Тогда с точностью до знака равна высоте h параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b и с, при условии, что основанием служит параллелограмм, построенный на векторах а и b (рис. 2.18). Таким образом, с точностью до знака правая часть (2.41) равна объему V построенного на векторах a, b и с параллелепипеда. Остается уточнить знак. Очевидно, что = +h, если векторы е и с лежат по одну сторону от плоскости, определяемой векторами а и b, и = -h, если векторы е и с лежат по разные стороны от указанной плоскости. Но это означает, что =+h, если тройки abc и abe одной ориентации, и = -h, если указанные тройки противоположной ориентации. Так как по определению векторного произведения тройка abe является правой (см. конец предыдущего пункта), то
+h, если abc — правая тройка, —h, если abc — левая тройка.
Для завершения доказательства теоремы достаточно вставить это значение в правую часть (2 .41). В случае, когда векторы a, b и с компланарны, вектор с лежит в плоскости, определяемой векторами а и Ь, откуда следует, что и по формуле (2.41) [ab] с = 0. Теорема полностью доказана.
Следствие 1. Справедливо равенство [ab] c = a [bc]. В самом деле, из переместительного свойства скалярного произведения вытекает, что a [bc] = [bc] а, и достаточно доказать, что [ab] с = [bc] a. С точностью до знака, последнее равенство очевидно, ибо как правая, так и левая его части с точностью до знака равны объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с. Но и знаки правой и левой частей последнего равенства совпадают, ибо обе тройки abc и bса относятся к группе троек (2.36) и имеют одинаковую ориентацию (см. п. 1). Доказанное равенство [ab] с = a [bc] позволяет записывать смешанное произведение трех векторов a, b и с просто в виде abc, не указывая при этом, какие именно два вектора (первые два или последние два) перемножаются векторно. Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. В самом деле, компланарность векторов в силу теоремы 2.16 влечет равенство нулю их смешанного произведения. Обратное вытекает из того, что для некомпланарных векторов смешанное произведение (в силу той же теоремы) равно отличному от нуля объему параллелепипеда. Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю. В самом деле, такие три вектора заведомо компланарны. 5. Алгебраические свойства векторного произведения. Векторное произведение векторов обладает следующими четырьмя свойствами: 1° [ab] =—[ba] (свойство антиперестановочности сомножителей);
2° [( ca)b] = c[ab] (сочетательное относительно числового множителя свойство);
3° [(а + b) с] = [ас] + [be] (распределительное относительно суммы векторов свойство);
4° [аа] = 0 для любого вектора а.
Убедимся в справедливости этих свойств. Для доказательства свойства 1° положим с = [ab], d = [ba]. Если векторы а и b коллинеарны, то в силу теоремы 2.13 с = d = 0, и свойство 1° доказано. Если же а и b не коллинеарны, то векторы cud, во-первых, имеют одинаковую длину (в силу формулы 2.38) для длины векторного произведения) и, во-вторых, коллинеарны (в силу того, что оба вектора end ортогональны к плоскости, определяемой векторами а и b). Но тогда либо с = d, либо с = —d. Если бы имела место первая возможность, то по определению векторного произведения обе тройки abc и bас оказались бы правыми, но это невозможно, ибо в силу п. 1 эти тройки противоположной ориентации . Итак, с = —d, и свойство 1° полностью доказано. Для доказательства свойства 2° положим с = [( са)b], d = [ab] и прежде всего исключим тривиальные случаи, когда вектор а коллинеарен b или когда = 0. В этих случаях (в силу теоремы 2.13 и определения произведения вектора на число) мы получим, что с = d = 0, и свойство 2° доказано. Пусть теперь векторы а и b не коллинеарны и . Докажем, что и в этом случае векторы end равны. Обозначим буквой угол между векторами а и b, а буквой угол между векторами а и b. По определению длины векторного произведения и произведения вектора на число можно утверждать, что
| с | = | | | а | | b | sin , |d| = | |a|b| sin (2.42) Учтем теперь, что могут представиться два случая: 1) (когда > 0 и векторы а и а направлены в одну сторону; рис. 2.19); 2) (когда <0 и векторы а и а направлены в противоположные стороны; рис. 2.20). В обоих случаях sin = sin и в силу формул (2.42) | с | = | d |, т.е. векторы c и d имеют одинаковую длину. Далее, очевидно, что векторы c и d коллинеарны, ибо ортогональность к плоскости, определяемой векторами а и b, означает ортогональность и к плоскости, определяемой векторами а и b. Для доказательства равенства векторов end остается проверить, что эти векторы имеют одинаковое направление. Пусть > 0 ( < 0); тогда векторы а и а одинаково направлены (противo положно направлены), и, стало быть, векторы [ab] и [( а)b] также одинаково направлены (противоположно направлены), а это означает, что векторы d = [ab] и с = [( a)b] всегда одинаково направлены. Свойство 2° доказано.
Переходим к доказательству свойства 3°. Рассмотрим отдельно два случая: 1) случай, когда векторы a, b и с компланарны 2) случай, когда эти векторы не компланарны. В первом случае векторы a, b и с, будучи приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости, которую мы обозначим буквой тт. Пусть е -единичный вектор, принадлежащий плоскости и ортогональный к вектору с, a g — единичный вектор, ортогональный к плоскости и такой, что тройка ecg является правой. Согласно теореме 2.15 [ас] = • | с | g, [bc] = • | с | g , [(а + b)с] = (а + Ь) • | с | g.
Свойство 3° непосредственно вытекает из последних трех формул и из линейного свойства проекции + = (а + b) . Пусть теперь векторы a, b и с не компланарны. Так как три вектора [(а + b) с], [ас] и [bc] ортогональны к вектору с, то эти три вектора компланарны , а стало быть (в силу теоремы 2.5), линейно зависимы. Но это означает, что найдутся такие числа хотя бы одно из которых не нуль, что справедливо равенство
(2.43)
Остается доказать, . Докажем, например, что . Для этого, пользуясь уже доказанным распределительным свойством 3° скалярного произведения, умножим равенство (2.43) скалярно на вектор b и учтем, что смешанное произведение [bc] b равно нулю (в силу следствия 3 из теоремы 2.16). В результате получим
[(а + b)с]b = ,[ас]b.
Поскольку векторы a, b и с не компланарны, смешанное произведение [ас] b не равно нулю, и для доказательства равенства достаточно доказать равенство смешанных произведений [(а + b) с] b и [ас] b. Равенство абсолютных величин указанных смешанных произведений вытекает из того, что (в силу теоремы 2.16) эти абсолютные величины равны объемам двух параллелепипедов с равновеликими основаниями (на рис. 2.21 эти равновеликие основания заштрихованы штрихами разных наклонов) и с общей высотой h, опущенной из конца вектора с (рис. 2.21). Равенство знаков указанных смешанных произведений вытекает из определения правой (левой) тройки с помощью условия 3° (см. п. 1), ибо из этого условия очевидно, что тройки acb и (а + b) cb одной ориентации. Равенство доказано. Аналогично (посредством умножения 2.43) скалярно на вектор а) доказывается равенство . Свойство 3° полностью доказано. Остается доказать свойство 4°, утверждающее, что векторный квадрат любого вектора равен нулю, но это свойство непосредственно вытекает из теоремы 2.13 и из того, что любой вектор а коллинеарен сам с собой. Замечание. Оба свойства 2° и 3° формулируются применительно к первому сомножителю векторного произведения. (Свойство 2° утверждает возможность сочетания числового множителя ас первым множителем векторного произведения, а свойство 3° утверждает возможность распределения относительно суммы векторов первого сомножителя векторного произведения.) Естественно возникает вопрос, справедливы ли аналогичные свой- свойства применительно ко второму сомножителю векторного произведения, т.е. можно ли утверждать, что
[ (ab)]= [ab] и [a(b + c)] = [ab] + [ac]. (2.44)
Оказывается, свойства B.44) уже являются следствиями свойств 2° и 3° и свойства антиперестановочности 1°. В самом деле, из свойств 1°, 2° и 3° вытекает, что [a ( b)] = -[( b) а] = - [bа] = [ab] и аналогично [а (b + с)] = -[(b + с) а] = -{[bа] + [ca]} = [ab] + [ас]. В заключение отметим, что доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при векторном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно и производить сочетание числовых множителей (но при этом необходимо либо сохранять порядок векторных множителей, либо при изменении этого порядка менять знак на противоположный) .
В следующем пункте мы будем существенно использовать эти свойства.