Sirtlarning tekislik va to‘G‘ri chiziq bilan kesilishi. Sirtlarning yoyilmasi

SIRTLARNING TEKISLIK VA TO‘G‘RI ChIZIQ BILAN KESILISHI. SIRTLARNING YOYILMASI

Sirtlarni tekislik bilan kesish natijasida kesim yuzasi deb ataluvchi tekis shakl hosil bo‘ladi. Ko‘pyoqlikni kesim yuzasi umumiy vaziyatda ko‘pburchakdan, egri sirtning kesim yuzasi esa egri chiziqdan iborat bo‘ladi.

Ko‘pyoqliklarning kesim chizig‘i konturi kesuvchi tekislikning ko‘pyoqlik qirralari bilan kesishgan nuqtalar orqali aniqlanadi. Aniqlangan nuqtalar ko‘pburchak shaklidagi kesim yuzasining uchlari hisoblanadi.

Egri sirtlarning kesim yuzasi kesuvchi tekislikning egri sirt yasovchilari bilan kesishgan qator nuqtalar orqali aniqlanadi. Topilgan nuqtalar tekis egri chiziq ko‘rinishida tutashtirilib yasaladi.

Demak, har qanday sirtning tekislik bilan kesishganda hosil bo‘lgan kesim yuzasini sirtga tegishli to‘g‘ri yoki egri chiziqlarning tekislik bilan kesishgan nuqtalarini aniqlash orqali topiladi.


6.1. Sirtni proeksiyalovchi tekislik bilan kesilishi

Agar kesuvchi tekislik proeksiyalovchi vaziyatda bo‘lsa, u holda kesim yuzasining bitta proeksiyasi kesuvchi tekislikning izi bilan ustma-ust tushadi, ikkinchi proeksiyasi esa proeksiyalarning mosligi asosida aniqlanadi.

6.1,a-shaklda oltiyoqli prizmani frontal proeksiyalovchi tekislik bilan kesishishi tasvirlangan. Ushbu holda kesim yuzasining shakli qo‘shimcha qurish yo‘llaridan foydalanmay aniqlanadi. Kesim yuzasining frontal proeksiyasi (1₂, 2₂, 3₂,...) kesuvchi tekislikning frontal _П2 izi bilan ustma-ust tushgan. Uning gorizontal proeksiyasi esa prizma qirralarining gorizontal proeksiyalari (1₁, 2₁, 3₁,...) bilan ustma-ust tushgan. Shunday qilib, kesim yuzaning frontal proeksiyasi 1₂4₂ to‘g‘ri chiziqdan, gorizontal proeksiyasi esa 1₁2₁3₁4₁5₁6₁ oltiburchakdan iborat bo‘ladi. Kesim yuzaning haqiqiy kattaligi 1₀2₀3₀4₀5₀6₀ proeksiyani qayta qurish usuli bilan aniqlanishi mumkin (ushbu holda proeksiya tekisligini almashtirish usulidan foydalanilgan).

6.1,b-shaklda aylanish silindrini frontal proeksiyalovchi tekislik bilan kesish va uning ellips ko‘rinishidagi kesim yuzasini qurish tasvirlangan. Kesim yuzasi frontal proeksiyalar teksiligida to‘g‘ri chiziq shaklida ko‘rinadi. Uning gorizontal proksiyasi esa silinrning gorizontal proeksiyasi bilan ustma-ust tushib aylana ko‘rinishida tasvirlangan. Kesim yuzaning haqiqiy kattaligi 1₀3₀2₀4₀ yuqorida ko‘rilgan masaladagi singari aniqlanadi. Berilgan chizmada ellipsning katta 1₂2₂ va kichik 3₁4₁ o‘qlarining haqiqiy kattaliklari mavjudligi ellipsning haqiqiy kattaligi chizmaning ixtiyoriy joyiga chizish mumkin bo‘ladi.

a) b)

6.1-shakl

6.2,a,b-shakllarda og‘ma prizma va og‘ma silindrlarning frontal proeksiyalovchi tekislik bilan kesishgan chiziqlarining proeksiyalarini yasash ko‘rsatilgan. Kesim yuzalari og‘ma prizmada qirralarga tegishliligi, og‘ma silindrda yasovchilarga tegishliligi asosida aniqlangan. Gorizontal proeksiyalar tekisligida og‘ma prizmaning kesim yuzasi (1₁2₁3₁) uchburchak, og‘ma silindrda esa ellips ko‘rinishida tasvirlangan.

Og‘ma silindr kesim yuzasining gorizontal proeksiyasidagi ko‘rinar-ko‘rinmasga ajratuvchi 1_­1 va 2₁ nuqtalar tegishli yasovchilarning _П2 kesuvchi tekislik bilan kesishgan 1_­2 va 2₂ nuqtalarining proeksion bog‘lanishi orqali aniqlanadi.

6.2,v-shaklda oltiyoqli to‘g‘ri piramidaning gorizontal proeksiyalovchi tekislik bilan kesishgan yuzasini qurish tasvirlangan. Piramidaning tekislik bilan kesishgan chizig‘ining 1₁2₁3₁4₁5₁ nuqtalari belgilab olinadi. Proeksion bog‘liqlik asosida kesim yuzasining frontal proeksiyalari 1₂2₂3₂4₂5₂ aniqlanadi. Kesim yuzasining haqiqiy kattaligi 1₀2₀3₀4₀5₀ proeksiyalar tekisliklarini almatirish usuli yordamida aniqlangan.

a) b) v)

6.2-shakl


6.2. Konus kesimlari

To‘g‘ri konusning kesimlari kesuvchi tekislikning vaziyatiga qarab aylana, ellips, parabola, giperboladan iborat bo‘ladi. Agar kesuvchi tekislik konus uchidan o‘tgan hollarda ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziqdan yoki konus uchidagi nuqtadan iborat bo‘ladi. 6.3,a-shaklda to‘g‘ri konusni  gorizontal tekislik bilan kesilganda kesim yuzaning shakli aylana bo‘lishi ko‘rsatilgan.

Ko‘rinib turibdiki, agar kesuvchi  tekislik konus asosiga nisbatan og‘ma bo‘lsa va konusning barcha yasovchilarini kesib o‘tsa, konus kesim yuzasining shakli ellipsdan iborat bo‘ladi (6.3,b-shakl). Ellipsning katta o‘qi 1-2(1₁2₁; 1₂2₂) bo‘ladi. Kichik o‘qi esa frontal proeksiyalar tekisligiga 1₂2₂ katta o‘qni teng ikkiga bo‘luvchi (3­₂4₂) nuqta ko‘rinishida proeksiyalanadi. Kichik o‘qning gorizontal proeksiyasini aniqlash uchun yordamchi kesuvchi (_П2) tekisligidan foydalanamiz. U konusni aylana bo‘ylab kesadi. Proeksion bog‘lanish asosida nuqtaning 3₁ va 4₁ gorizontal proeksiyalarini aniqlaymiz.

Agar kesuvchi tekislik konusning biror yasovchisiga parallel (||SA) holatda kesgan bo‘lsa, u holda kesim yuzasining shakli paraboladan iborat bo‘ladi (6.3,v-shakl).