Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и физики

Ташкентский университет информационных технологий
Факультет : Программный инжиниринг

Самостоятельная работа
На тему: « Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и физики»

».

Выполни: Студент группа 320-20
Казакбаев Саламат
Проверил: Абдуллаев Рустам Заирович
Содержание

1. 
   Приложения двойных интегралов
   
2. 
   Приложения тройных интегралов
   
3. 
   Векторный анализ Скалярное поле
   

Приложения двойных интегралов
С помощью двойного интеграла можно вычислять некоторые физические и геометрические величины:
· Площадь плоской фигуры D может быть вычислена по формуле
(13).
· Объем V цилиндра, ограниченного поверхностью  , плоскостью  и цилиндрической поверхностью, у которой образующая параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D, вычисляется по формуле
(14).
· Масса плоской фигуры D с плотностью  (  - масса на единицу площади) вычисляется по формуле
(15).
· Статические моменты М_х и М_y относительно осей Ox и Oy выражаются двойными интегралами
(16).
· Координаты центра масс  и  плоской фигуры находятся по формулам
(17).
· Моменты инерции I_x, I_y плоской фигуры относительно осей Ох и Oy находятся по формулам
(18).
· Момент инерции плоской фигуры относительно начала координат находится по формуле
(19).
Пример.
Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми  .
Решение. Построим заданную фигуру на плоскости xOy (Рис. 17).

Рис. 17

Фигура ограничена параболой  , проходящей через начало координат с осью симметрии Ох, и прямой y=x. Координаты центра масс вычисляются по формулам  , где

Область Dможно задать системой неравенств  . Так как фигура однородная, то положим γ(x,y)=1. Следовательно, масса фигуры m равна
.
Статические моменты М_х и М_y относительно осей Ох и Oy, соответственно, равны

. Таким образом,  .
Ответ: