Моменты инерции сложных сечений

Моменты инерции сложных сечений
Если фигура сложная, её разбивают на простые (рис. 2.9). Используем свойство определённого интеграла — интеграл по всему интервалу интегрирования равен сумме интегралов, вычисленных по подинтервалам, на которые можно разделить весь интервал: на примере вычисления осевого момента инерции плоской фигуры (2.6) имее м

Из формулы (2.15) следует, что момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси либо осей равен алгебраической сумме моментов инерции простых фигур, составляющих данную сложную относительно той же оси либо осей. Вывод применим к осевым, полярному и центробежному моментам инерции.
Прокатные сечения — двутавр (рис. 2.10, а), швеллер (рис. 2.10,6), неравнобокий уголок (рис. 2.10, в), равнобокий уголок
(рис. 2.10, г)— являются сложными сечениями, геометрические характеристики для них приводятся в таблицах сортаментов.


Рис. 2.9

Рис. 2.10
Рассмотрим порядок определения моментов инерции сложного сечения.
1. Разбить сложное сечение на простые.

• 
  2. Выбрав вспомогательные оси, найти координаты центров тяжести простых фигур (при необходимости используют формулу (2.3)).
  
• 
  3. По формуле (2.5) вычислить координаты центра тяжести составного сечения и указать положение этой точки на чертеже.
  
• 
  4. Вычислить моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей.
  
• 
  5. Вычислить моменты инерции простых фигур относительно осей центральных для всей фигуры (при этом обычно выполняют параллельный перенос координатных осей, его рассмотрим в п. 2.5).
  
• 
  6. Найти моменты инерции всего сложного сечения относительно его центральных осей, используя формулу (2.15) и ей подобные.
  

Вычислить осевой момент инерции 1_Х составного сечения (рис. 2.11). Размеры прямоугольника и круга заданы, их центры тяжести совпадают. Сечение представляет собой разность прямоугольника и круга. Пункты 1-3 уже выполнены.

Рис. 2.11
Находим ответ, используя формулы (2.15), (2.13):

Для вычисления момента инерции прямоугольника использована формула, которую выведем в п. 2.5.