Mavzu: Lobachevskiy tekisligining turli modellari. Lobachevskiy geometriyasining zidsizligi Lobachevskiy geometriyasi

Mavzu: Lobachevskiy tekisligining turli modellari. Lobachevskiy geometriyasining zidsizligi
Lobachevskiy geometriyasi - Yevklid geometriyasining aksiomalar sistemasidan faqat parallellik aksiomasi bilan farq qiladigan, aksiomalar sistemasiga asoslangan geometrik nazariya Lobachevskiy geometriyasida Yevklidning parallellik aksiomasi oʻrniga quyidagi aksioma qabul qilinadi: agar toʻgʻri chiziq va undan tashqarida nuqta berilgan boʻlsa, ularni oʻz ichiga olgan tekislikda shu nuqtadan oʻtuvchi, lekin berilgan toʻgʻri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita toʻgʻri chiziq oʻtkazish mumkin.
Lobachevskiy geometriyasining manbai — Yevklidning "Negizlar" asarida taʼriflangan beshinchi postulatni isbotlash uchun Ibn al-Xaysam (10-asr), Umar Xayyom (12-asr), Nasriddin Tusiy (13-asr), Prokl (15-asr), Lejandr, Lambert va boshqa matematiklar tomonidan qilingan urinishlardir. 19-asrda beshinchi postulatni boshqa aksiomalar asosida isbotlab boʻlmaydi, yaʼni u mustaqil aksioma, degan fikr vujudga keldi. Agar beshinchi postulat aksioma sifatida qabul qilingan boʻlsa, uning inkori ham boshqa aksi-omalarga zid boʻlmasligi kerak. Yevklidning beshinchi postulati oʻrniga yuqoridagi aksiomaga asoslangan geometriyani birinchi marta 1826-yilda N. I. Lobachevskiy, undan keyinroq Ya. Bolyay taklif qildi.
Yevklid geometriyasining parallellik aksiomasiga asoslanmagan teoremalari L.g.da ham oʻrinli boʻladi, parallellik aksiomaga asoslangan teoremalari esa Lobachevskiy geometriyasida oʻrinli boʻlmaydi. Lobachevskiy geometriyasida uchburchakning ichki burchaklari yigʻindisi 180° dan kichik.
Lobachevskiy geometriyasining mantiqiy ziddiyatsizligini birinchi marta italyan matematigi E. Beltrami 1868-yilda isbotladi. U psevdosferaning geodezik chiziqlari toʻgʻri chiziq deb qaralsa, hosil boʻladigan geometriya L.g. ekanligini koʻrsatdi. Bu fakt L.g.ning Beltrami interpretatsiyasi (izohi) deyiladi. Keyinchalik F. Kleyn va A. Puankare ham L.g.ning boshqa interpretatsiyalarini berdilar.
Lobachevskiy geometriyasi — mat., mexanika va fizikada keng tatbiq etiladigan nazariya. Shu bilan birga Lobachevskiy geometriyasining yaratilishi moddiy olam haqidagi tasavvurimizni boyitdi. Yevklid geometriyasi olamni toʻgʻri aks ettiruvchi yagona geometriya emasligini koʻrsatdi.