Ma’ruza 12 Differensial tenglamalarga olib keladigan ba’zi bir masalalar. Diffеrеnsial tеnglama ta’rifi. Diffеrеnsial tеnglamalarning xususiy va umumiy yechimlari. Koshi masalasi. O’zgaruvchilarga ajraladigan

Matematika fanidan ma`ruzalar matni Differensial tenglama

Ma’ruza 12

Differensial tenglamalarga olib keladigan ba’zi bir masalalar. Diffеrеnsial tеnglama ta’rifi. Diffеrеnsial tеnglamalarning xususiy va umumiy yechimlari. Koshi masalasi. O’zgaruvchilarga ajraladigan, bir jinsli diffеrеnsial tеnglamalar

Reja.

1. Umumiy tushunchalar.

2. Birinchi tartibli differensial tenglamalar.

3. O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar.

4. Bir jinsli tenglamalar.

5. Bir jinsli differensial tenglamalarga misollar

Tayanch so’zlar. Differensial tenglamalar, xususiy hosila, oddiy differensial tenglamalar, tenglamaning tartibi, bir jinsli differensial tenglama

1. Umumiy tushunchalar.

Ta’rif: Noma’lum funksiya argumentini funksiya va funksiyaning hosilasi yoki differensiali bilan bog’laydigan tenglamaga differensial tenglama deyiladi.

Differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi

F(x, y, y^/, y^//,..., y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

yoki

F (x, y, )(2) kabi bo’ladi.¹

Agar tenglamadagi funksiya bir argumentli bo’lsa, bunday tenglamani oddiy differensial tenglama deyiladi. Agar differensial tenglamada ikkita Yoki bir nechta x, y, ... o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan noma’lum z ƒfunksiya hamda va hokazo xususiy hosilalar ishtirok etsa, bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi². Biz soddalik uchun bundan keyin oddiy differensial tenglamalar bilan ish ko’ramiz. Tenglamadagi hosila (Yoki differensial)ning eng yuqori tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi. Masalan, xdy – y²dx=0 va yy^/= tenglamalar birinchi tartibli, y^// - 4x³=0 ikkinchi tartibli, 5xy^/ - y^///=8x uchinchi tartibli differensial tenglamalardir. Differensial tenglamani yechish tenglamani qanoatlantiruvchi funksiyani topishdan iborat.

Differensial tenglamaning yechimi deb differensial tenglamaga keltirib qo’yilganda uni ahamiyatga aylantiruvchi har qanday y=ƒ(x) funksiyaga aytiladi.

Oddiy tenglamalar kabi differensial tenglamalar ham hayolan o’ylab topilgan bo’lmay, balki real zaruriyatlardan kelib chiqqan. Differensiallar ko’proq fizika va mexanikaga doir masalalarni yechish tufayli kelib chiqqan.

Misollar. 1. Shunday egri chiziqni topingki, uning har bir nuqtasiga o’tkazilgan urinmaning burchak koeffisiyenti tgα=k= - bo’lsin.

Yechish. Hosilaning geometrik ma’nosidan bilamizki, tgα=k=y^/= Shartga ko’ra tgα= - .

Demak, = - Oddiy differensial tenglamani hosil qildik. Buni ydy= - xdx deb yozish mumkin.

Tenglikning ikkala tomonini integrallash mumkin:

∫ ydy = ∫ (- x) dx,

Integrallaymiz, natijada

Yoki x²+y²=C

funksiyani hosil qilamiz. Bu funksiya y=- differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.

2. h balandlikdagi havo bosimining o’zgarishi qonunini toping.

Yechish: Fizikadan bizga ma’lumki, bosim P havo zichligiga proporsionaldir u holda h balandlik ∆h ga o’zgarganda bosim orttirmasi ∆P quyidagiga teng bo’ladi: ∆P = - k*p ∆h (bosim orttirmasi asosning yuzi 1 birlikka, balandligi h ga teng bo’lgan havo) ustunining og’irligiga teng). Orttirmani differensial bilan almashtirib, quyidagi differensial tenglamani hosil qilamiz:

Dp = - kpdh Yoki

Yechimi: p = Ce^-kh.

Yuqoridagi misollardan ko’rinadiki, birinchi tartibli differensial tenglama yechimida bittadan o’zgarmas miqdor C ishtirok etayapti.

C o’zgarmas miqdorga aniq qiymatlar berib differensial tenglamaning aniq yechimlarini hosil qilamiz (Masalan, x² + y² = 1, x² + y² = 4 va hokazo). Bularni xususiy yechimlar deyiladi. Umumiy holda (1) va (2) differensial tenglamaning umumiy yechimi

φ (x, y₁, C₁, C₂, . . . , C_n) (3)

ko’rinishida bo’ladi.

Umumiy yechimdan xususiy yechimni Ajratib olish uchun oldindan boshlang’ich shartlar deb atalgan shartlar berilgan bo’lishi kerak. Masalan,

x = x_o bo’lganda y = y₀ va (4)

Umumiy holda boshlang’ich shartlar quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

x = x_o bo’lganda y = y₀; y^/ = (y₀), . . . , y^{(n – 1)} = y₀^{(n – 1)}. (5)

(5) ga boshlang’ich shart yoki Koshi sharti deyiladi.