Laplas almashtirishi Laplas almashtirishning xossalari Laplas almashtirishini tadbiqlari

5-Maruza
Ma’ruza: LAPLAS ALMASHTIRISHI VA UNING XOSSALARI
Reja

1. 
   Laplas almashtirishi
   
2. 
   Laplas almashtirishning xossalari
   
3. 
   Laplas almashtirishini tadbiqlari
   

Haqiqiy argument - ning qiymatlarda aniqlangan funksiya berilgan bo’lsa (yoki desak, t<0 bo’lganda deb olamiz) va – funksiya chekli sondagi 1 tur uzilishga ega bo’lsin.

Bu funksiya cheksiz intervalda integrallanuvchi bo’lishi uchun
(1)
bo’lishi kerak ( ).
- son funksiyani o’sish ko’rsatkichi deyiladi.
(Shunga o’xshash ikkinchi integralni ham yaqinlashishini ko’rsatish mumkin). Shunday qilib mavjud va - ning biror funksiyasidir; biz uni deb belgilaymiz:
(2)
– funksiya funksiyaning Laplas tasviri yoki 1- tasvir (yoki tasviri) deyiladi. funksiya original funksiya yoki original deyiladi. F(t)- funksiyaning – originalga nisbatan tasviri quyidagicha yoziladi:
yoki yoki
(1.1.4) - integralni Laplas almashtirishi deb ham yurutiladi.
Tasvirlari bir hil bo’lgan funksiyalar haqida quyidagi teorema o’rinlidir.
Teorema-1. Agar ikkita va uzluksiz funksiyalar bitta bir xil tasvirga ega bo’lsalar, u holda bu funksiyalar aynan tengdir.
1-misol.

.
1-xossa. Ixtiyoriy o’zgaruvchi ning masshtabi o’zgarganda
– funksiyani tasviri.
bo’lganda – funksiyani tasvirini topamiz. Ta’rifga ko’ra

itegralda almashtirishni bajarsak bo’ladi, demak

yani agar bo’lsa bo’ladi.
2-xossa. Tasvirning chiziqlili xossasi
Teorema-2. O’zgarmas ko’paytuvchiga ko’paytirilgan bir nechta funksiyalar yig’indisini tasviri shu funksiyalar tasvirlarini mos ko’paytuvchilarga ko’paytmalarining yig’indisiga tengdir, yani
(1)
(bunda lar o’zgarmas sonlar), va bo’lsa, u holda
(2)
3-xossa. Siljish teoremasi


Teorema-3. Agar funksiyaning tasviri bo’lsa, u holda ning tasviri bo’ladi. Bunda deb faraz qilinadi.


Bu teorema tasvirlar sinfini ancha kengaytiradi va ularning orginali oson topiladi.
4-xossa. Tasvirlarni differensiallash va integrallash


Teorema -4. Agar bo’lsa u holda
(1.2.1)
bo’ladi.


Teorema -5. Agar bo’lsa, u holda:

Haqiqatdan ham yani . Bu tenglikni hadlab integrallash bilan ni olamiz yoki
5-xossa. Originalni differensiallash va integrallash


Teorema-6. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi.
Teorema -7
. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi.
4-Laplas almashtirishini tadbiqlari
O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalarning berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini Laplas almashtirishini qo’llash yo’li bilan topamiz:

1. 
   Avval ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechamiz:
   

(1)
tenglama berilgan bo’lsin; o’zgarmas sonlar. Bu tenglamaning boshlang’ich shartlarni qanoatlantruvchi y(t)-xususiy yechimini topish kerak. Tenglamani yechimi , uning hosilalari va o’ng tomoni - originallar bo’lsin. Agar va desak, u holda originalni differensiallab
,
larni topamiz.
Tasvirni chiziqlik xossasiga va (2.1.1) tenglamaga asosan:

(2)
(2)- tenglama (1) differensial tenglamaning yordamchi tenglamasi yoki tasvirlovchi tenglamasi deyiladi.
Natijada original - uchun (1) differensial tenglama o’rniga uning tasviri - uchun (2) algebraik tenglamani hosil qildik.
(2) tenglikdan
(3)
(3) formula (2) tenglamaning operator yechimidir. - tasvirga asosan -originalni ya’ni (1) tenglamani yechimini topamiz.
Misol. 1) differensial tenglamaning
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan hususiy yechimi topilsin.
Yechish.

Bo’lgani uchun (2.1.3) formulaga asosan:

jadvaldan - izlangan yechim bo’ladi.