Кўп ўлчамли интеграллар учун бўлаклаб интеграллаш формуласи. Гриннинг 1 формуласи

Грин формулалари
Режа:

1. 
   Кўп ўлчамли интеграллар учун бўлаклаб интеграллаш формуласи.
   
2. 
   Гриннинг 1 – формуласи.
   
3. 
   Гриннинг 2 – формуласи.
   

Таянч тушунчалар
Бўлаклаб интеграллаш формуласи, Гриннинг биринчи формуласи, Гриннинг иккинчи формуласи
Бизга математик анализ курсидан маълумки фазода чегараланган соќа бўлиб, чегараси - бўлакли силлиš сиртдан иборат бўлсин. сиртга ўтказилган бирлик нормал бўлсин, яъни


функциялар да узлуксиз бўлиб

D да узлксиз бўлсин, яъни
.
У ќолда ушбу

формула ўринли бўлади. Бу формула чегараланган соќа бўлиб, чегараси - бўлакли силлиš сиртдан иборат бўлган соќа учун ќам ёзиш мумкин. Агар

функциялар берилган бўлиб,

– сиртга ўтказилган бирлик ташšи нормал вектор бўлса, яъни
.
У ќолда Гаусс – Остроградский формуласи, ушбу
(1)
кўринишни олади.
Бу формуладан фойдаланиб кўп ўлчамли интеграллар учун бўлаклаб интеграллаш формуласини келтириб чиšарамиз.
Šуйидаги интегралларни šараймиз:
(2)
бу ерда

узлуксиз дифференциалланувчи функциялар.
Иккинчи томондан кўпайтмани дифференциаллаш šоидасига биноан,
(3)
(2) + (3) дан

яъни
(4)
бўлаклаб интеграллаш формуласига эга бўламиз.
Гриннинг биринчи формуласи
Šуйидаги шартларни šаноатлантирувчи иккита функциялар.

берилган бўлсин. Ушбу айниятдан фойдаланамиз:
(5)
Ќаšиšатан ќам,
.
Бу тенгликни бўйича йиғсак,

бу ерда ушбу

белгилашдан фойдаланиб (5) формулани исбот šиламиз. (5) айниятнинг иккала томонини D – соќа бўйича интеграллаймиз:

Бу формулага (1) Гаусс – Остроградский формуласини šўллаймиз:

бу ерда šуйидаги

нормал йўналиш бўйича олинган ќосила формуласидан фойдаландик. Шундай šилиб Гриннинг биринчи формуласини
(6)
топдик.
Гриннинг иккинчи формуласи
Ушбу

шартни šаноатлантирувчи иккита и ва функциялар берилган бўлсин. (6) формулада ни и га алмаштирамиз, у ќолда

дан (6) ни айирамиз:
(7)
Гриннинг иккинчи формуласига эга бўламиз.
Адабиётлар
1.Салоќитдинов М.С., Математик физика тенгламалари, Т., «Ўзбекистон», 2002.
2.Владимиров В.С., Уравнения математической физики, М, «Наука», 1981.
3.Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики, М, «Наука», 1977.