3 Глава Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики

Оглавление

Введение 3
Глава 1. Параллельные вычисления при численном решении уравнений математической физики. 8
1.1Пример из механики 8
1.2Пример применения метода Гаусса 9
1.3Метод исключения Гаусса в общем случае 11
1.4Трехдиагональные системы 13
1.5LU разложение матриц 15
1.6Метод гауссовых исключений с перестанов- кой строк 18
1.7Численный расчет матрицы определителя и обратной матрицы 18
Глава 2. Методы Рунге-Кутты и другие методы 21
1.1 Методы Рунге-Кутты 21
Метод Эйлера (метод Рунге-Кутты первого порядка) 21
2.2 Метод Гаусса 27
2.3 Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса 30
2.4 Методы Адамса 33
Заключение 40
Литература 41

Введение

В пособии излагаются основы численных методов решения задач алгебры, анализа, дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных (задач математической физики). Изложен- ный материал предназначен для студентов университетов, будущих математиков, физиков и инженеров, специализирующихся в обла- сти прикладной математики, вычислительной физики и компью- терного моделирования. Изложение материала в пособие основано на курсе лекций, который читался авторами в течение ряда лет студентам факультетов физико-технического, фотоники и оптоин- форматики, начиная с 2017 года, а также студентам инженерно- механического факультета Саутгемптонсого университета в Вели- кобритании.
При изложении описания численных методов изучаются вопро- сы построения, применения и теоретического обоснования алгорит- мов приближенного решения различных классов математических задач как основы компьютерного моделирования. В настоящее вре- мя большинство вычислительных алгоритмов уже ориентировано на использование быстродействующих компьютеров и компьютер- ных кластеров. Изучение численных методов можно охарактеризо- вать некоторыми особенностями. Для них характерна множествен- ность, так как можно решать одну и ту же задачу разными ме- тодами. Это очень важно, так как в большинстве случаев в мате- матическом и компьютерном моделировании точные решения за- дач отсутствуют и проверить полученное решение задачи одним численным методом можно только с помощью альтернативного ал- горитма. Возникающие новые научные задачи и быстрое развитие вычислительной техники стимулируют переоценку мощности суще- ствующих алгоритмов и приводят к созданию новых. Авторы посо- бия поставили перед собой задачу собрать минимальный материал, достаточный для дальнейшей научной работы студентов и выпуск- ников вузов в области применения и развития вычислительных ме- тодов.
Наибольшее внимание уделяется фундаментальным разделам численных методов – численному решению систем линейных алгеб- раических уравнений и разностным методам решений задач мате-
матической физики. Многие интересные и важные методы изложе- ны недостаточно полно или совсем не вошли в пособие. За рамками остались такие этапы компьютерного моделирования, как построе- ние математической модели, программирование и организация вы- числений. Не вошли в материал изложения современные методы обработки сигналов. Для более глубокого и детального изученния теории численных методов авторы рекомендуют дополнительную литературу . При изучении этих материалов сле- дует обращаться к рекомендуемым ниже первоисточникам по курсу высшей математики, дифференциальному и интегральному исчис- лению и теории уранений в частных производных, например. Для изученния теории численных методов на англий- ском языке рекомендуются две хорошо известные и легко читаемые книги .
Изложение материала численных методов в пособии начинает- ся с описания традиционных вычислительных методов, таких как прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебра- ических уравнений, интерполирование и аппроксимация функций, численное интегрирование, решение нелинейных уравнений, мето- ды решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера применения метода Нютона рас- смотрено численное решение обратной задачи определения диэлек- трической проницаемости слоя по данным рассеяния. Далее обсуж- дается решение краевой задачи для обыкновенных дифференци- альных уравнений второго порядка, полученное на основе метода конечных разностей. С помощью этого алгоритма описывается ре- шение для построения дисперсионных зависимостей для задачи рас- пространения волн в одномерном фотонном кристалле, хорошо из- вестной в оптике, акустике и радиофизике. На основе этого алгорит- ма описана численная процедура нахождения спектра и волновых функций электронов в атоме водорода. Далее рассматриваются раз- ностные методы решения смешанных задач математической физи- ки для эллиптических, параболических и гиперболических уравне- ний в частных производных. Здесь изложение строится на простых и важнейших примерах уравнений Пуассона, теплопроводности и волнового уравнения. Большое внимание уделяется принципам по- строения разностных схем для широкого спектра задач, методам
решения сеточных уравнений, исследованию их устойчивости и схо- димости, анализу погрешностей. Положительным моментом мате- риала, изложенного в пособии, является описание методов Ритца и Галеркина как для краевых задач обыкновенных дифференци- альных уравнений второго порядка, так и для для краевых задач дифференциальных уравнений второго порядка в частных произ- водных эллиптического типа. После этого приводится введение в метод конечных элементов для уравнения Лапласа в прямоуголь- ной области. В заключительной части присутствует кратко изло- женный материал для хорошо известного и популярного в теории распространения волн в оптике, акустике и радиофизике, метода граничных интегральных уравнений Фредгольма. Рассматривают- ся с помощью этого метода задачи рассеяния плоской электромаг- нитной волны на бесконечном идеально-проводящем цилиндре и тонком проводе конечной длины. Главным достоинством пособия является приложение, в котором для всех двенадцати тем содер- жания по курсу численных методов приводятся описания заданий рекомендуемых лабораторных работ, которые были успешно реали- зованы и протестированы в системе MATLAB. Следует заметить, что предлагаемое пособие в некоторой степени аналогично следую- щим известным источникам. Но присутствие дополнения по лабораторным работам и последних трех тем в содержании дает явные преимущества по сравнению с материалом, представленным в .
Пособие адресовано студентам Университета ИТМО, изучаю- щим под руководством авторов курсы «Технологии программиро- ванияk и «Математические методы компьютерных технологий в на- учных исследованияхk в рамках направления «Фотоника и оптоин- форматикаk по подготовки бакалавров и магистров по программам
«Оптические и квантовые технологии в коммуникацияхk и «Кван- товые коммуникации и фемтотехнологииk на факультете фотоники и оптоинформатики. Пособие может использоваться как для само- стоятельного изучения численных методов студентами, аспиранта- ми и научными работниками, так и служить руководством к ре- шению задач, возникающих в научно-исследовательских бакалавр- ских, магистерских и аспирантских проектах, связанных с числен- ными расчетами.