Грин формуласи ва унинг татбиšлари 10. Грин формуласи

Грин формуласи ва унинг татбиšлари

1⁰. Грин формуласи. Текисликда ушбу

ќамда

чизиšлар билан чегараланган тœпамни олайлик, бунда ва функ­ция­лар да узлуксиз. (51-чизма)

51-чизма
Равшанки, нинг чегараси (контори) šуйидаги I, II, III, IV чизиš­ларга ажралади (бунда ва чизиšлар нуšталарга айланиши мумкин).
Айтайлик, да функция узлуксиз бœлиб, у узлуксиз хусусий ќосилага эга бœлсин. Ушбу

эгри чизиšли интегрални šараймиз. Уни šуйидагича

ёзиб оламиз. ва чизиšлар œšига перпендикуляр бœл­ган­лиги сабабли

бœлиб,

бœлади.
Энди,



бœлишини эътиборга олсак, унда
(1)
тенгликка эга бœламиз.
Фараз šилайлик, текисликдаги тœпам шундай бœлсинки, уни (верти­кал чизиšлар ёрдамида) юšоридаги каби ­ларга ажратиш мумкин бœлсин. (52-чизма)

52-чизма
Бундай тœпам учун ќам (1) формула œринли бœлади:
.
Энди текисликда ушбу

ќамда

чизиšлар билан чегараланган тœпамни олайлик, бунда , функциялар да узлуксиз. (53-чизма)

53-чизма
Равшанки, нинг чегараси (контори) šуйидаги I, II, III, IV чизиšларга ажралади (бунда ва чизиšлар нуšталарга айланиши мумкин).
Фараз šилайлик, да функция узлуксиз бœлиб, у узлуксиз хусусий ќосилага эга бœлсин. Ушбу

эгри чизиšли интегрални šараймиз. Уни šуйидагича

ёзиб оламиз. ва чизиšлар œšига перпендикуляр бœлганлиги сабаб­ли

бœлиб,

бœлади.
Энди



бœлишини эътиборга олиб топамиз:
. (2)
Айтайлик, текиликдаги тœпам шундай бœлсаки, уни (горизонтал чизиš­лар ёрдамида) юšоридаги каби ларга ажра­тиш мумкин бœлсин. (54- чизма)

54- чизма
Бундай тœпам учун ќам (2) формула œринли бœлади:

Фараз šилайлик, текиcликдаги тœпам юšоридаги ва лар хусусиятига эга бœлиб, унда функциялар узлуксиз ва узлуксиз хусусий ќосилаларга эга бœлсин. У ќолда ва функциялар учун бир йœла (1) ва (2) формулалар œринли бœлади. Уларни ќадлаб šœшиб топамиз:
. (3)
Бу Грин формуласи дейилади. Демак, Грин формуласи тœплам бœйича олин­ган икки каррали интеграл билан шу тœплам чегараси бœйича олинган эђри чизиšли интегралнинг бођланишини ифо­да­лайди.
2⁰. Грин формуласининг баъзи бир тадбиšлари. Айтайлик, юšорида кел­ти­рилган бир бођламли тœпламда функциялар узлуксиз ва узлуксиз хусусий ќосилаларга эга бœлсин. У ќолда Грин формуласи (3) œринли бœлади.
Грин формуласидан фойдаланиб, текис шаклнинг юзининг эгри чизиš­ли интеграл ёрдамида ифодаланишини, якобианнинг геометрик маъно­сини ва баъзи тасдиšларнинг эквивалент­лигини кœрсатиш мумкин.
1) Текис шакл юзининг эгри чизиšли интеграл орšали ифода­ланиши. Айтай­лик, функциялар тœпламда юšорида келти­рил­ган шартлар­ни šаноатлантириши билан бирга ушбу

шартни ќам šаноатлантирсин. Унда

бœлиб, Грин формуласига кœра

бœлади. Хусусан,

ёки

ёки

бœлса,

бœлиб, тœпламнинг юзи
(4)
бœлади.
2) Якобианнинг геометрик маъноси. Фараз šилайлик, текисликда тœплам берилган бœлиб, унинг чегараси (контори) бœлсин. (55-чизма). текис­ликда эса тœплам берилган бœлиб, унинг чегараси (контори) бœлсин. (56-чизма).

55-чизма 56-чизма

Айтайлик, ва тœплам нуšталари œртасида œзаро бир šийматли мослик œрнатилган бœлиб, улар ушбу

формула билан ифодалансин. Бунда функциялар ёпиš тœплам­да узлуксиз ва узлуксиз хусусий ќосилаларга эга бœлсин.
тœплам чегараси чизиš ушбу

параметрик тенглама билан ифодалансин. Бунда функ­ция­лар оралиšда узлуксиз ва узлуксиз ќосилаларга эга. Унда тœпламнинг чегараси ушбу

тенгламалар системаси билан аниšланади. Бунда нинг нуšта­ла­рига нинг нуšталари мос келади.
Маълумки,
. (5)
Бу тенгликнинг œнг томонидаги интеграл учун
(6)
бœлади. ( параметр дан га šараб œзгарганда эгри чизиš мусбат йœналиш­да бœлса, эгри чизиšнинг йœналиши мусбат ќам, манфий ќам бœли­ши мумкин. Шунинг учун