Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения

Для учёбы

Библиотека

Презентации

Форум

Супер-решатель

Для докладов

Карта сайта

Проверь себя

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используютсяформулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо «a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Запомните!

Разность квадратовдвух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a²− b²= (a − b)(a + b)

Примеры:

• 
  15²− 2²= (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
  
• 
  9a²− 4b²с²= (3a − 2bc)(3a + 2bc)
  

Квадрат суммы

Запомните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a +b)²= a²+2ab + b²

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².

• 
  Разложим 112на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  112 = 100 + 1
  
• 
  Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  112²= (100 + 12)²
  
• 
  Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  112²= (100 + 12)²= 100²+ 2 · 100 · 12 + 12²= 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
  

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• 
  (8a + с)²= 64a²+ 16ac + c²
  

Предостережение!

(a + b)² не равно (a² + b²)

Квадрат разности

Запомните!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a −b)²= a²−2ab + b²

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)²= (b − a)²

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)²= a²−2ab + b²= b²− 2ab + a²= (b − a)²

Куб суммы

Запомните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b)³= a³+ 3a²b + 3ab²+ b³