Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari. Reja: Umumiy tushunchalar

Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari.


Reja:

1. 
   Umumiy tushunchalar.
   
2. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli.
   
3. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
   
4. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Teskari matritsa usuli.
   
5. 
   Kroneker- Kapelli teoremasi.
   

Chiziqli tenglama deb,


a₁ x₁  a₂ x₂  ...  a_n x_n  b,

ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi, bu yerda a_i va b – sonlar, x_i - noma’lumlar. Shunday qilib, chiziqli tenglamaning chap tomonida no’malumlarning chiziqli kombinatsiyasi, o‘ng tomonida esa son turadi.

Agar b  0 bo‘lsa, chiziqli tenglama bir jinsli, aks holda, ya’ni b  0 bo‘lsa, bir jinsli bo‘lmagan tenglama deyiladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasi deb quyidagi ko‘rinishdagi sistemaga aytiladi:

 a x  a x

2

 ...  a

x

n

 b



11 1

12

1n

1

 a21x1  a22 x2

 ...  a2n xn

 b2

,



............................................



a

x  a

m 2

x

2

 ...  a

mn

x

n

 b



m1 1

m

bu erda , - sonlar, ^x j - noma’lumlar, n – noma’lumlar soni, m – tenglamalar

soni ( i  1, m; j  1, n ).

Chiziqli tenglamalar sistemaining yechimi deb shunday sonlarga

aytiladiki, bu sonlarni noma’lumlar o‘rniga quyilganda, sistemaning har bir tenglamasi o‘rinli tenglikka aylanadi.

Agar chiziqli tenglamalar sistemasi hech bo‘lmaganda bitta yechimga ega bo‘lsa birgalikda bo‘lgan, aks holda, ya’ni yechimga ega bo‘lmasa, birgalikda bo‘lmagan

tenglamalar sistemasi deyiladi.

Shuningdek, agar birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemai yagona yechimga ega bo‘lsa aniqlangan, bittadan ko‘p yechimga ega bo‘lsa, aniqlanmagan tenglamalar sistemasi deb yuritiladi.

Kramer qoidasi.
Ikkita chiziqli tenglamalardan iborat ushbu

a x  a y  b ,
 11 12 1
(1)

_a₂₁ x  a₂₂ y  b₂

sistema ikki x va y noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi, bunda a₁₁ , a₁₂ , a₂₁ , a₂₂ sonlar tenglamalar sistemasining koeffitsientlari, b₁ va b₂ sonlar ozod hadlar deyiladi.

1. 
   sistemaning koeffitsientlaridan ushbu
   
   • 
     _ ^a11^a12
     

^a21 ^a22

determinantni, so’ng bu determinantning birinchi ustunidagi elementlarni ozod hadlar bilan almashtirib



x



b1

^a12

b2

^a22

determinantni, ikkinchi ustundagi elementlarni ozod hadlar bilan almashtirib



y



^a11

b1

^a21

b2

determinantlar hosil qilamiz.

Demak, (1) sistema berilgan holda har doim  ,  x , y

determinantlarga ega

bo’lamiz.

1-Teorema. Aytaylik, ushbu

a11 x  a12 y b1 ,

a21 x  a22 y b2

(2)

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Agar

1. 
    0 bo’lsa, u holda (2) sistema yagona x , y yechimga ega bo’lib,
   

х 		х	,		у 	у
						
bo’ladi;	
2)  0 bo’lib,  x  0,  y  0 bo’lsa,				u holda (2) sistema yechimga ega

bo’lmaydi;

3. 
    _x  _y  0 bo’lsa, u holda (2) sistema cheksiz ko’p yechimga ega
   

bo’ladi.
◄ (2) sistemaning birinchi tenglamasini a₂₂ ga, ikkinchi tenglamasini – a₁₂ ga ko’paytirib, so’ng ularni hadlab qo’shib topamiz:
a₁₁ a₂₂ x  a₁₂ a₂₂ y  a₂₂ b₁ ,

 a₂₁ a₁₂ x  a₁₂ a₂₂ y a₁₂ b₂



a₁₁ a₂₂  a₁₂ a₂₁  x  a₂₂ b₁  a₁₂ b₂

Keyingi tenglikdan

х_х,

ya’ni
х^_^х

bo’lishi kelib chiqadi.

Shuningdek, (2) sistemaning birinchi tenglamasini – a₂₁ ga, ikkinchi tenglamasini


a₁₁ ga ko’paytirib, so’ng ularni hadlab qo’shib topamiz:
 a₁₁ a₂₁ x  a₁₂ a₂₁ y b₁ a₂₁ ,
^a11 ^a21 ^{x  a}11 ^a22 ^{y  b}2 ^a11


a₁₁ a₂₂  a₁₂ a₂₁  у  a₁₁b₂  a₂₁b₁.

Bu tenglikdan

у_у,

ya’ni
у^_^у

bo’lishi kelib chiqadi.

Shunday qilib berilgan tenglamalar sistemasi quyidagi

х_х

^
_у_у
ko’rinishga kelib, sistema  0 bo’lganda yagona yechimga ega bo’lib,

х 		х	,	у 		у
					
	

bo’ladi.
Shunga o’xshash

• 
   0 bo’lganda sistema yechimga ega bo’lmasligi,  _х  _у  0 bo’lganda
  

sistema cheksiz ko’p echimga ega bo’lishi ko’rsatiladi. ► 1-misol. Ushbu

• 
  2 x  3 y  1
  

^_3 x  5 y  4
sistema yechilsin.

◄Bu sistema uchun  ,  _x , _y larni topamiz:

	2	3	109 1, 					x								1 3					512 7,															y						2			1			835.
	3	5													4		5																						3			4
Demak,																						у
			х 		х									7			7,у												5			 5
														1												1

bo’ladi. ►


2-misol. Ushbu

5 x  2 y  4,
^_0, 35 x  1,14 y  2
sistema yechilsin.

◄Bu sistema uchun  ,  _x , _у larni topamiz:

		5		2				 50,14 0,352 0,7  0,7  0
	0,35			0,14
х			4	2			 40,14 22 0,56  4  0.
			2	0,14

Demak, berilgan sistema yechimga ega emas. ► Uchta chiziqli tenglamalardan iborat ushbu

 a11 x  a12 y  a13 z  b1 ,
^	a21 x  a22 y  a23 z  b2 ,					(3)
	a x  a y  a z  b ,
	31	32	33	3

sistema uchta x, y va z noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi, bunda


a₁₁ , a₁₂ , a₁₃ , a₂₁ , a₂₂ , a₂₃ , a₃₁ , a₃₂ , а₃₃ sonlar tenglamalar sistemasining koeffitsientlari, b₁ ,b₂ ва b₃ sonlar ozod hadlar deyiladi.

( 3) sistemaning koeffitsientlaridan quyidagi

^a11 ^a12 ^a13

• 
  ^{ a}21^a22 ^a23
  

^a31 ^a32 ^a33

uchinchi tartibli determinantni hosil qilamiz. So’ng bu determinantning birinchi, ikkinchi va uchinchi ustunlarini mos ravishda ozod hadlar bilan almashtirib quyidagi determinantlarni tuzamiz:

b1

^a12

^a13

^a11

b1

^a13

^a11

^a12

b1

х

b2

^a22

^a23

,

y

^a21

b2

^a23

,

z

^a21

^a22

b2

.

b3

^a32

^a33

^a31

b3

^a33

^a31

^a32

b3

Demak, (3) sistema berilgan holda har doim  ,  _x ,  _y , _z determinantlarga ega

bo’lamiz.