Чизиқли алгебра

Чизиқли алгебра
1.1. Матрица ва улар устида амаллар. Детерминантлар
2.1. Чизиқли тенгламалар системаси. Крамер ва Гаусс методлари

Матрица ва улар устида амаллар
Таъриф. Сонли кўринишдаги
(1)
тўғри бурчакли жадвалга матрица дейилади. Бунда сатрлар сонининг устунлар сонига кўпайтмаси A матрицанинг ўлчами дейилади.
Агар (қаторлар сони устунлар сонига тенг) бўлса,

A квадрат матрица дейилади. элементлар квадрат матрицанинг диагонал элементлари дейилади.
Диагонал матрица бирлик матрица дейилади, агар бош диагоналнинг барча элементлари бирга тенг бўлиб, қолган элементлари нолга тенг бўлса
.
Бир хил ўлчамли A ва B матрицаларнинг йиғиндиси деб, шундай C матрицагa айтиладики, унинг элементлари A ва B матрицаларнинг мос элементлари йиғиндисидан иборат бўлади.
A матрицанинг ҳақиқий сонга кўпайтмаси, A матрицанинг ҳар бир элементини га кўпайтиришдан ҳосил қилинади.
Транспонирланган матрица деб, тартибини сақлаган ҳолда матрицанинг сатрлари билан устунларининг ўрни (ёки, устунлари билан сатрлари ўрнини) алмаштирилган матрицага айтилади.
A ва B матрицалар кўпайтмаси деб, шундай C матрицага айтиладики, унинг ҳар бир элементи мос равишда, A матрица сатр элементларининг B матрица устун элементларига скаляр кўпайтмасидан ҳосил бўлади:
.
Амалларнинг хоссалари.
1. 4. , ;
2. 5. ;
3. 6. .

Детерминантлар
Иккинчи ва учинчи тартибли детерминантдан бошлаймиз.

Матрица А берилган бўлсин, у ҳолда иккинчи тартибли детерминант

формула билан ҳисобланади.
Бундан кўринадики, иккинчи тартибли детерминантни ҳисоблаш учун, A матрицанинг асосий диогонали элементлари кўпайтмасидан, иккинчи диогонал элементлари кўпайтмаси айирилар экан.
Учинчи тартибли детерминант
(2)
формула билан ҳисобланади.
Учинчи тартибли детерминантни ҳисоблаш қуйидаги схемалар орқали амалга ошади (14-расм).

n – тартибли детерминантни кўрайлик

Энди юқорида қайд этилган формулаларни умумий ҳол учун қараймиз.
Таъриф. A матрицанинг n – тартибли детерминанти, бу матрица элементларининг та ҳадлар йиғиндисидан иборат бўлиб, уларнинг ҳар бири n та элементлар кўпайтмасидан иборат бўлади

Детерминантнинг асосий хоссалари
Детерминантларнинг асосий хоссалари.

1. 
   Агар детерминантнинг қайсидир сатри ёки устуни нолдан ташкил топган бўлса, у ҳолда детерминант нолга тенг.
   

Ҳақиқатан, умумий таърифдаги та қўшилувчи кўпайтмаларда нолдан ташкил топган сатр (устун)лар элементлари қатнашади.

2. 
   Иккита сатр (устун)нинг ўрнини алмаштирсак детерминантнинг ишораси алмашади.
   

Бу хоссанинг исботини иккинчи ва учинчи тартибли детерминмнтларда осонгина текшириш мумкин.

3. 
   Иккита бир хил сатр(устун)га эга бўлган детерминант, нолга тенг.
   

Агар бу сатр(устун)ларни ўрнини алмаштирсак, Δ_n = -Δ_n га эга бўламиз. Бундан Δ_n = 0 келиб чиқади.

4. 
   Ҳар қандай сатр(устун)нинг умумий кўпайтувчисини детерминант белгисидан ташқрига чиқариш керак.
   
5. 
   Агар Δ_n детерминант сатр(устун)ининг барча элементлари иккита қўшилувчининг йиғиндиси кўринишида бўлса, бу детерминантни, иккита детерминантнинг йиғиндиси кўринишида ёзиш мумкин тенг:
   

6. 
   Агар детерминант сатр(устун)ининг элементлари ихтиёрий сонга кўпайтирилиб, мос равишда бошқа сатр(устун)нинг элементларига қўшилса, детерминантнинг қиймати ўзгармайди.
   

Бу хоссанинг исботи 3-5 хоссалардан келиб чиқади.

7. 
   Матрица транспонирланганда детерминант ўзгармайди.
   

Бундан келиб чиқадики, агар детерминантнинг сатр(устун) элементларларидан бири, бошқа бирор сатр(устун) элементларининг чизиқли комбинациясидан иборат бўлса, бу детерминант нолга тенг бўлади.