Чизиқли алгебра

Минорлар ва алгебраик тўлдирувчилар
n – тартибли детерминантни қараймиз. Унинг бирор a_ij элементини танлаймиз ва шу детерминантнинг i - сатри ва j – устунини ўчирамиз. Ҳосил бўлган (n-1) – тартибли детерминант, a_ij элементнинг M_ij минори дейилади.
Таъриф. Δ_n детерминантнинг, a_ij элементининг алгебраик тўлдирувчиси деб,

сонга айтилади.
Теорема. Детерминант, унинг ихтиёрий сатр элементларини мос алгебраик тўлдирувчилари кўпайтмалари йиғиндисига тенг:
.
Юқоридаги формула детерминантнинг i – сатр бўйича ёйилмаси дейилади.
Мисол. 4 – тартибли детерминантни ҳисобланг

Ечим. Иккинчи сатр элементлари бўйича ёйиб ёзамиз

Таъриф. Нолдан фарқли минорларнинг энг катта тартиби матрицанинг ранги дейилади.
Мисол. матрицанинг рангини топинг

Матрицанинг ранги элементар алмаштиришлар орқали тез топилади.
2.1. Чизиқли тенгламалар системаси. Крамер ва Гаусс методлари
Номаълумлари лардан тузилган, m та тенгламадан иборат, n номаълумли чизиқли тенгламалар системаси берилган бўлсин:
. (3)
сонлар тенгламалар системасининг ечими дейилади, агар улар системанинг ҳар бир тенгламасини айниятга айлантирса
Тенгламалар системаси биргаликда дейилади, агар у камида битта ечимга эга бўлса; агар система ечимга эга бўлмаса, у биргаликда эмас дейилади.
Элементар алмаштиришлар дастлабки системани унга эквивалент системага олиб келади. Бу қуйидаги элементар ўзгартиришлар билан боғлиқ:

• 
  тенгламадан 0x₁ + 0x₂ + ... + 0х_n = 0 нолга тенг сатрлар ўчирилади;
  
• 
  тенгламаларни ўрнини алмаштириш ёки тенгламадаги қўшилувчиларни алмаштириш мумкин;
  
• 
  системадаги бирор тенгламанинг ҳар иккала томонини ихтиёрий ҳақиқий сонга кўпайтириб, бошқа тенгламага қўшиш мумкин;
  
• 
  системанинг бошқа тенгламалари чизиқли комбинациясидан иборат бўлган тенгламани ўчириш мумкин.
  

Чизиқли тенгламалар системасини ечишнинг матрица усули
(3) тенгламалар системасининг матрица орқали кўриниши

бунда Х ва В матрицалар ўлчамли. A матрица хосмас бўлиб, тескари матрица мавжуд бўлсин. Тенгламанинг барча қисмларини чапдан га кўпайтириб номаълумни аниқлаймиз:
.