Bir jinsli chiziqli algebraik

"Science and Education" Scientific Journal August 2021 / Volume 2 Issue 8


Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

Maxsud Tulqin o‘g’li Usmonov

[e-mail] Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Qarshi filiali


^{Annotatsiya: Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi har doim birgalikda,} chunki har doim sistemaning yechimi boʻladi. Bir jinsli sistema uchun munosabat oʻrinli boʻlsa, sistema aniq boʻlib, yagona nol( yoki trivial) yechimga ega.
Kalit so’zlar: bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi, fundamental yechimlar sistemasi, aniqlik shartlari, bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi.


A system of homogeneous linear algebraic equations

Mahsud Tulkin oglu Usmanov

[e-mail] Karshi branch of Tashkent University of Information Technologies


^{Abstract: A system of homogeneous linear equations is always together because there is always a solution to the system. If the relationship is appropriate for} a homogeneous system, then the system is clear and has a single zero (or trivial) _solution.
Keywords: system of homogeneous linear equations, system of fundamental solutions, conditions of accuracy, general solution of system of non-homogeneous linear equations.


^{1. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining notrivial yechimi mavjudlik} sharti.
1-misol. Quyidagi sistemani yeching:
4x₁ + x₂ - 3x₃ - x₄ = 0,
^ _

^ _

^ _

^ _

+ 3x₂ + x₃ - 5x₄ = 0, - 2x₂ - 2x₃ + 3x₄ = 0.
^ _

^2x₂ ^{- 2x}₄ ^{= 0,} _{7x2 + 5x3 -11x4 = 0,}
- 2x₂ - 2x₃ + 3x₄ = 0.

323

_{3
x1 =}
5
"Science and Education" Scientific Journal August 2021 / Volume 2 Issue 8


^{sistemani hosil qilamiz. Agar ozod had sifatida x}₄ ^{noma’lumni olib, x}₄ ^{=  , deb} _{qarasak. U holda}
⁴ ₅

⁴ ₅

x₂ = , x₃ =
⁴ ₅

koʻrinishdagi yechimlarni hosil qilamiz. Ushbu holda har bir nolmas yechim
⁴ ₅

⁴ ₅

mumkin.
Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlari quyidagi xossalarga ega:
^{1. Agar X}₀ ^{= (b}₁^,b₂^,...,b_n^{) vektor AX = sistemaning yechimi boʻlsa, u holda} k _{ixtiyoriy son boʻlganda ham kX0 = (k b1,k b2,...,k bn)}
⁴ ₅

yechimi boʻladi.
^{2. Agar X}₀ ^{= (b}₁^,b₂^,...,b_n^{) va X}₁ ^{= (c}₁^,c₂^,...,c_n^{) vektorlar AX = sistemaning yechimlari boʻlsa, u holda X}₀ ^{+ X}₁ ^{= (b}₁ ^{+ c}₁^,b₂ ^{+ c}₂^,...,b_n ^{+ c}_n^{) vektor ham bu} _{sistemaning yechimi boʻladi.}
Shuning uchun bir jinsli sistema yechimlarining har qanday chiziqli kombinatsiyasi ham uning yechimi boʻla oladi.
Bir jinsli boʻlmagan sistema yechimlari uchun yuqoridagi da’vo oʻrinli emas.
     
a₂₁ a₂₂ a_2k
     
a_n1 a_n2 a_nk
n oʻlchovli vektorlar sistemasini ko‘rib chiqamiz.
^{1-ta’rif. Agar x}₁^A₁ ^{+ x}₂ ^A₂ ^{+ ... + x}_k ^A_k ^{=  tenglikni qanoatlantiruvchi kamida bittasi noldan farqli x}₁^{, x}₂^{,..., x}_k ^{sonlar mavjud boʻlsa, u holda A}₁^{, A}₂^{,..., A}_k ^vektorlar _{sistemasi chiziqli bog‘liq vektorlar sistemasi deb ataladi.}
^{Aks holda, yani faqat x}₁ ^{= x}₂ ^{= ... = x}_k ^{= 0 boʻlgandagina x}₁^A₁ ^{+ x}₂ ^A₂ ^{+ ... + x}_k ^A_k ^{=  tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda A}₁^{, A}₂^{,..., A}_k ^vektorlar _{sistemasi chiziqli erkli vektorlar sistemasi deb ataladi.}
Izoh. x₁A₁ + x₂ A₂ + ... + x_k A_k =  vektor bir jinsli tenglamalar sistemasini

⁴ ₅

⁴ ₅

⁴ ₅

⁴ ₅

⁴ ₅

ifodalaydi. Masalan, A₁ = , A₂ = A₃ = vektorlar sistemasini qaraymiz.

x₁A₁ + x₂ A₂ + x₃A₃ = 
vektordan quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
x₁ + 2x₂ - x₃ = 0,
⁴ ₅

⁴ ₅

⁴ ₅

^2x1
www.openscience.uz
a₁₁ a₁₂ a_1k
     


     

     
A₁ = , A₂ = , ..., A_k =
     


a_n2
k  n
"Science and Education" Scientific Journal August 2021 / Volume 2 Issue 8

Bu sistemaning yechimlarini Gauss usulida topamiz.

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

_{x1 + 2x2 - x3 = 0,}
x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

_
^{- x}₂ ^{+ 4x}₃ <sup>= 0.


Koʻrinib turibdiki, tenglamalar sistemasi cheksiz koʻp yechimga ega. x</sup>₃ ^{=1, deb} _{olsak, x1 = -7, x2 = 4 qiymatlarni topamiz. Ya’ni,}
-7A₁ + 4A₂ + A₃ = .
Demak, ta’rifga asosan, qaralayotgan vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq. Yuqorida aytib oʻtilgan bir jinsli tenglamalar sistemasining xossalari va
Kroneker-Kapelli teoremasiga asosan quyidagi tasdiqni hosil qilamiz.
vektorlar sistemasining rangi
x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

soni dan kichik boʻlsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq boʻladi. Agar r = k boʻlsa, u holda A₁, A₂,..., A_k vektorlar sistemasi chiziqli erkli boʻladi.
Xususan, bu tasdiqdan, bir xil oʻlchovli vektorlar sistemasidagi vektorlar soni bu vektorlarning oʻlchovidan, ya’ni rangidan katta boʻlsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli boʻgliq boʻlishi kelib chiqadi.
Haqiqatan ham A₁, A₂,..., A_k vektorlar sistemasining rangi, ta’rifga asosan,
a₁₂ a_1k a₂₂ a_2k
x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,


x₁ =-7x₃,

x₁ =-7x₃,

a_nk
matritsa rangiga teng. Shartga asosan ,
x₁ =-7x₃,

AX = tenglamada noma’lumlar soni tenglamalar sistemasi rangidan katta. Demak, sistema trivial boʻlmagan (noldan farqli) yechimga ega, ya’ni, vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq.
2. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari sistemasi.
2-ta’rif. Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday maksimal sondagi chiziqli erkli sistemasi bu tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi.
2-teorema. AX = tenglamalar sistemasining har qanday yechimi fundamental yechimlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasidan iborat.
x₁ =-7x₃,

Isbot. X₁, X₂,..., X_k vektorlar sistemasi
x₁ =-7x₃,

fundamental yechimlari sistemasi boʻlsin. X₀ vektor esa tenglamalar sistemasining boshqa ixtiyoriy yechimi boʻlsin. U holda, ta’rifga asosan, X₀, X₁, X₂,..., X_k vektorlar
www.openscience.uz
x₁ =-7x₃,

^a_{11 a21}


a_n1













"Science and Education" Scientific Journal August 2021 / Volume 2 Issue 8


^{sistemasi chiziqli bog‘liq. Ya’ni shunday kamida bittasi noldan farqli} _{sonlar mavjudki,}
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀ X₀ + ₁X₁ + ... + _k X_k = .
₁X₁ + ... + _k X_k = 0,
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

vektorlar chiziqli bog‘liq. Bu esa teorema shartiga zid. Demak, ₀  0. Shu sababli
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

X₀ = - X₁ - ... - X_k .

Bu teoremadan muhim boʻlgan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.

oʻlchovli vektorlar sistemasi AX = tenglamalar
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

sistemasining fundamental yechimlar sistemasi boʻlsa, bu bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasining umumiy yechimi
X = c₁F₁ + ... + c_k F_k
shaklda ifodalanadi.
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
3-teorema. Bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasining rangi ga teng boʻlib, sistema noma’lumlari soni n dan kichik boʻlsin. U holda tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasi n - r ta nolmas vektorlardan iborat boʻladi.
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

Teoremadan koʻrinib turibdiki, fundamental yechimlar sistemasidagi vektorlar soni bu sistemaga mos erkli oʻzgaruvchilar soniga teng ekan.
Bir jinsli sistemaning fundamental yechimlari sistemasini quyidagicha qurishimiz mumkin:
1. Bir jinsli sistemaning rangi topiladi;
2. n - r ta erkli oʻzgaruvchilarga qiymat beramiz. Buning uchun n - r oʻlchovli ta vektorlardan iborat chiziqli erkli vektorlar sistemasi tanlanadi. Bunda
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

A₁ = (1,0,...,0)^T , A₂ = (0,1,...,0)^T ,...,
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

A = (0,0,...,1)^T sistemani tanlash mumkin;
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

3. Erkli noma’lumlar oʻrniga yuqorida tanlangan A₁ vektorning mos koordinatalarini qoʻyib, bazis noma’lumlar aniqlanadi va F₁ quriladi. Xuddi shunday usulda A₂, A₃,..., A vektorlardan foydalanib, mos ravishda F₂,
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

yechimlar quriladi.
^{vektorlar sistemasining rangi ularning qismi boʻlgan A}₁^{,..., A vektorlar rangidan kichik emas. A}₁^{,..., A vektorlar chiziqli erkli boʻlgani sababli bu} _{vektorlar sistemasi rangi maksimal, ya’ni n - r}
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

vektorlar sistemasi rangi ham maksimal, ya’ni sistemasi chiziqli erkli.
₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k

2-misol. Quyidagi

www.openscience.uz

₀,₁,...,_k


X₁, X₂,..., X_k


¹ ₂

x₅,

_{7 25 1
x3 - x4 + x5.}
8 8 2

1 0 0

0^, 0^ .
0^ 0^ 1^
"Science and Education" Scientific Journal August 2021 / Volume 2 Issue 8


3x₁ + x₂ - 8x₃ + 2x₄ + x₅ = 0,
^ _

^ _

^ _

^ _

^ _

^ _

- 2x₂ - 3x₃ - 7x₄ + 2x₅ = 0, - 5x₂ + 2x₃ -16x₄ + 3x₅ = 0, +11x₂ -12x₃ + 34x₄ - 5x₅ = 0
chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini toping.
. Demak, sistemaning har qanday fundamental yechimlar sistemasi - r = 3
^ _

^ _

^ _

^ _

^{1. Bu yerda x}₃^{, x}₄^{, x}₅ ^{noma’lumlarni ozod noma’lumlar, deb hisoblab sistemani} _{yechamiz va quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:
19 3 1}
^ _

^ _

^ _

^ <sub>

x3 + x4 -</sub>
8 8 2


2. Soʻngra uchta chiziqli erkli uch oʻlchovli vektor olamiz:
     
   ^,        
3. Bu vektorlarning har birining komponentlarini umumiy yechimga ozod noma’lumlarning qiymatlari sifatida keltirib qoʻyib,
^ _

^ _

hisoblab, berilgan tenglamalar sistemasining quyidagi fundamental yechimlar sistemasini hosil qilamiz:

^ _

^ _

^ _


F₁ =
^ _


^ _

^ _

^ _

^ _

^ _


F₂ = , -
^ _

F₃ = -
^ _

^ _

^ _

Sistemaning umumiy yechimi X = c₁F₁ + c₂F₂ + c₃F₃ , yoki

^ _

^ _

^ _

  19 / 8 3 / 8
^ _

^ _

^ _

^ _

x₂ 7 / 8 -25 / 8^ 1 / 2
F = x₃ = c₁ 1 + c₂ 0 + c₃ 0 .
x₄ 0 1 0
      Bu yerda c₁,c₂ va c₃ ixtiyoriy sonlar.
www.openscience.uz
^ _

19
8

⁷ ₈

25

,

,

^ _



^{ }₁^{ } _{  }

^ _



,

,

³ ₈

8
¹ ₂

"Science and Education" Scientific Journal August 2021 / Volume 2 Issue 8


^{3. Bir jinsli va bir jinsli boʻlmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari} yechimlari orasidagi boglanish. Bir jinsli boʻlmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasinig umumiy yechimi.
chiziqli bir jinsli boʻlmagan tenglamalar sistemasi matritsalar yordamida AX = B koʻrinishda ifodalangan boʻlsin. Bunda
n

n

n

n

n

^{- n oʻlchovli noma’lumlardan iborat ustun vektor,} oʻlchovli ozod hadlar vektori.
n

n

n

n

n

bir jinsli boʻlmagan sistemaning bir jinsli qismi deyiladi.
n

n

n

^{Berilgan bir jinsli boʻlmagan sistemaning umumiy yechimini vektor shaklda} quyidagicha yozish mumkin:
X = F₀ + с₁F₁ + ... + с_n-rF
n

Bu yerda, F₀ - dastlabki bir jinslimas sistemaning xususiy yechimlaridan biri ( ni aniqlash uchun erkli oʻzgaruvchilarning xususiy qiymatlarida bir jinsli
n

boʻlmagan tenglamalar sistemasi yechiladi); F₁, F₂, ..., sistemaning fundamental yechimlari sistemasi;
n

n

n

haqiqiy sonlar.
3-misol. Quyidagi
 ^{- x}₂ ^{+ 2x}₃ ⁼¹
n

n

n

+ x₂ - x₃ = 2
chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlarini toping.
Yechish. Sistemaning yechimini topishda Gauss-Jordan usulidan foydalanamiz
_{0 1 3}
n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

_.
1 0 5^
n

x₁ -erkli
n

n

n

n

n

n

0
Oxirgi sistemada x₁ = 0 , deb olsak,
n

n

 
yechimni olamiz.
Endi bir jinsli boʻlgan chiziqli tenglamalar sistemasini yechib fundamental yechimlar sistemasini topamiz. Bir jinsli sistema quyidagi sistemaga ekvivalent
3x₁ + x₃ = 0,
n

n

n

^5x1
www.openscience.uz
"Science and Education" Scientific Journal August 2021 / Volume 2 Issue 8


















 
Bu sistemada x₁ = 1, deb olsak, F₁ = -5^ bir jinsli tenglamalar sistemasining
 
fundamental yechimni olamiz. Demak, umumiy yechim
     
           
bu yerda с - ixtiyoriy son. 4-misol. Quyidagi

+ 3x₂ - x₃ + 2x₄ = 3,
+ x₂ + 4x₃ - x₄ = 2.
tenglamalar sistemasining umumiy yechimini vektor shaklda yozing.
Yechish. Sistemaning yechimini topishda Gauss-Jordan usulidan foydalanamiz:
3 8 0 -5 6 -5 -4 0
































3 -1 2 3 : -5 6 -5 -4^


F₀ = ( 0,6;0,8;0;0 )sistemaning xususiy yechimlaridan biri. Bundan foydalanib sistemaning umumiy yechimini vektor shaklida yozamiz:
   ^{-2,6 1}












     

     
bu yerda с₁, с₂ lar ixtiyoriy haqiqiy sonlar