3-mavzu Funksiyaning uzluksizligi. Uzilish turlari Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi

3-mavzu..Funksiyaning uzluksizligi. Uzilish turlari

Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi.

Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, bo‘lsin.

1-ta’rif.Agar

(3)

bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.

Masalan

funksiya ixtiyoriy da uzluksiz bo‘ladi, chunki

.

Agar

bo‘lsa, funksiya nuqtada o‘ngdan,

agar

bo‘lsa, funksiya nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.

Masalan

funksiya uchun

,

bo‘ladi. Demak berilgan funksiya nuqtada chapdan uzluksiz.

funksiyaning nuqtada uzluksiz bo‘lishi sharti

ni quyidagicha yozish mumkin:

.

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

(4)

Odatda, argument orttirmasi , esa funksiya orttirmasi deyiladi.

(4) munosabatlardan topamiz:

.

va larning geometrik ma’nolari 1- chizmada keltirilgan.

(3) va (4) munosabatlardan

(5)

bo‘lishi kelib chiqadi. 1-chizma

Demak, (5) munosabat funksiyaning nuqtada uzluksizligi ta’rifi sifatida qaralishi mumkin.

Masalan, funksiya ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo‘ladi, chunki

.

2-ta’rif.Agar funksiya to‘plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lsa, funksiya to‘plamda uzluksiz deyiladi.

Funksiyaning uzilishi va uzilish turlari.

Ma’lumki,

bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi. funksiyaning nuqtada uzluksiz bo‘lishi ushbu

1) ning mavjudligi ,

2) bo‘lishi

shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.

Agar

munosabat bajarilmasa, funksiya uzilishga ega, nuqta esa uzilish nuqtasi deyiladi.

Ma’lumki, funksiyaning nuqtadagi o‘ng limiti, chap limiti mavjud bo‘lib,

bo‘lsa, yoki bu limitlardan hech bo‘lmaganda biri mavjud bo‘lmasa, funksiyaning limiti mavjud bo‘lmaydi. Binobarin, bu holda funksiya nuqtada uzilishga ega bo‘ladi.

Масалан,

funksiya uchun

,

bo‘lib, nuqtada funksiyaning o‘ng va chap limitlari bir-biriga teng bo‘lmaydi. Demak, berilgan funksiya uzilishga ega va nuqtada uning uzilish nuqtasi bo‘ladi.

Ushbu

funksiya uchun

- mavjud emas,

bo‘ladi. Demak, bu funksiya nuqtada uziladi.

Ushbu

uchun

bo‘lib, u berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymatiga teng emas: . Demak, funksiya nuqtada uziladi.

Funksiyaning uzilish nuqtalari qatoriga uning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lmagan, sohaning chegaraviy nuqtalari ham kiritiladi.

Xususan, funksiyaning aniqlanish sohasi intervaldan iborat bo‘lsa, intervalning chegaraviy nuqtalari uzilish nuqtalari bo‘lishi mumkin.

Masalan, funksiya da aniqlangan bo‘lib, nuqta (ravshanki, bu nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli emas va u oraliqning chegarasi) uzilish nuqta bo‘ladi.

Shunday qilib,

1) nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli va

shart bajarilmaganda,

2) nuqta aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lmasdan, uning chegaraviy nuqtasi bo‘lsa, u holda funksiyaning uzilish nuqtasi bo‘ladi.

funksiyaning nuqtadagi o‘ng va chap limitlari mavjud bo‘lib,

bo‘lganda, uning nuqtadagi uzilishi birinchi tur uzilish deyiladi. Ushbu

miqdor funksiyaning nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan, ushbu

f unksiyaning nuqtadagi uzilishi birinchi tur uzilishi bo‘lib, uning nuqtadagi sakrashi 2 ga teng bo‘ladi (2-chizma):

funksiyaning nuqtadagi boshqa uzilishlari

( holdan tashqari ) ikkinchi tur uzilishi deyiladi.2-chizma

Masalan,

funksiya uchun

bo‘lib, bu funksiyaning nuqtadagi uzilishi ikkinchi tur uzilish bo‘ladi.