2-Amaliy mashg’ulot Oddiy differensial tenglamalar (odt) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechishning taqribiy-usullari.

₂-Amaliy mashg’ulot
Oddiy differensial tenglamalar (ODT) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechishning taqribiy-usullari. (Galyorkin usuli. Eng kichik kvadratlar usuli.)
1. Chegaraviy masalalarni yechish usullari

Oddiy differentsial tenglamalar (ODT) uchun chegaraviy masalalarni yechishda samarali taqribiy-analitik va sonli usullar ishlab chiqilgan. Taqribiy-analitik usullarga kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, to’plam osti usullari, bundan tashqari samarali va universal bo‘lgan Galyorkin usuli kiradi [4,7,13].

ODT uchun chegaraviy masalalarni sonli yechish usullari ayirmali yechimlarni tuzishga asoslangan. Ayirmali usullar o‘zining qulayligi va universalligi sababli keng qo‘llaniladi [2,6,10,12,14].
Ushbu uslubiy ishda biz faqat ODT uchun chegaraviy masalalarni taqribiy-analitik yechish usullariga to‘xtalamiz.


2. Tafovutni minimallashtirish usullari

Chegaraviy masala quyidagidan iborat. Quyidagi differentsial tenglamaning

(1)
ikkita chegaraviy shartlarni
(2)
qanoatlantiruvchi yechimini topish talab etiladi, bu erda – berilgan funksiyalar ( fazo kesmada uzluksiz funksiyalar fazosi); – berilgan sonlar, bunda

Agar (2) shartlarda bo‘lsa, u holda bu birinchi tur chegaraviy shartlar bo‘ladi. Agar bo‘lsa, (2) shartlar ikkinchi tur chegaraviy shartlar deyiladi. Umumiy holda bo’lganda, (2) shartlarga uchinchi tur chegaraviy shartlar deb ataladi.
(1), (2) masalani yechishga quyidagicha kirishamiz. Berilgan kesmada ikki marta uzluksiz diffeentsiallanuvchi (ya’ni, fazodagi funktsiyalar), chiziqli bog‘liq bo‘lmagan funksiyalar sistemasini tanlaymiz. Bunda, funksiya (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya’ni , , qolgan funksiyalar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya’ni
(3)
Berilgan funksiyalar sistemasi bazis funksiyalar sistemasi deb ataladi.
Bu funksiyalar sistemasidan
(4)
funksiyani tuzamiz. Bunda , lar hozircha noma’lum koeffisiyentlar.
operatorlar chiziqliligidan funksiya (2) chegaraviy shartni qanoatlantiradi. Haqiqatdan,

Ushbu
(5)
funktsiya tafovut deyiladi.
Tafovut (1) tenglamaning chap tomonidagi ning o‘rniga funksiyani qo‘yganda, tenglamaning chap va o‘ng tomonlarining farqini xarakterlovchi funktsiyadir.
(5) tafovut sonlarga chiziqli bog‘liqdir. Agar sonlarning ayrim qiymatlarida funksiya nolga teng bo‘lsa, funktsiya (1), (2) masalaning yechimi bilan mos tushadi.
Lekin tafovutni nolga teng qilishga hamma vaqt erishib bo’lavermaydi. Shuning uchun sonlarni ma’lum usul bilan tanlab, tafovutning absolyut qiymatini iloji boricha kichraytirishga harakat qilinadi. Buning natijasida (4) munosabat bilan aniqlangan funksiya (1), (2) masalaning taqribiy yechimi sifatida qabul qilinadi.
Taqribiy usullarning ko‘pchiligi sonlarni aniqlash yo‘li bilan bir-biridan farq qiladi. Quyida shulardan ayrimlarini qarab o‘tamiz
Galyorkin usuli

Galyorkin usulining asosida bazis funktsiyalarining (5) tafovut funktsiyaga ortogonalligi talab qilinadi, ya’ni

Bu shartlardan noma’lumlarni topish uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz
(10)
bunda
.
Shunday qilib, chegaraviy masalalarning yuqorida qaralgan yechish usullari umumiy asosga ega. Ularning barchasi tafovutni minimallashtirishga asoslangan. Umumlashgan usul vaznli tafovutlar usuli deyiladi.