2-Amaliy mashg’ulot Oddiy differensial tenglamalar (odt) uchun qo`yilgan chegaraviy masalalarni yechishning taqribiy-usullari.

7. Bazis funksiyalarni tanlash

Taqribiy-analitik usullarni (1)-(2) masalani yechishga muvaffaqiyatli qo‘llash (4) taqribiy yechimdagi bazis funksiyalarning tanlanishiga bog’liq. Biz bu yerda umumiy (1)-(2) chegaraviy masalani taqribiy-analitik usullar yordamida yechish uchun bazis funksiyalarni tanlashni qaraymiz [3].

sifatida quyidagi chiziqli funktsiyani tanlaymiz:
. (11)
Yuqorida ta’kidlanganidek (2) chegaraviy shartni qanoatlantirishi kerak, ya’ni ushbu algebraik tenglamalar sistemasidan topiladi:
(12)
larda funksiyalarni bo’lganda quyidagi bir parametrli ko‘rinishda
(13)
umumiy holda esa
(14)
ko‘rinishda tanlash mumkin. Ko‘rinib turibdiki, bu funksiyalar (3) bir jinsli chegaraviy shartning birinchisini istalgan qiymatida qanoatlantiradi. (13) va (14) ni (3) shartning ikkinchisiga qo‘yib, (13), (14) larga mos larni topamiz
(15)
(16)
<sub>1-misol. Ushbu


chegaraviy masalaning taqribiy yechimini Galyorkin va Eng kichik kvadratlar usul</sub>lari yordamida toping_{.
Yechish. Berilgan chegaraviy masala quyidagi aniq yechimga ega:}

Chegaraviy masala yechimini Galyorkin usuli yordamida topamiz.

Avval bo‘lsin. Yechimni ko‘rinishda izlaymiz.
U holda (9) sistema quyidagi ko‘rinishga keladi
yoki .
Shunday qilib, , , bundan esa quyidagini hosil qilamiz:

Integralni hisoblagandan keyin, , bunda esa ega bo‘lamiz.
Berilgan chegaraviy masalaning taqribiy yechimi ushbu ko‘rinishda bo‘ladi.
Endi esa bo‘lsin. Chegaraviy masala yechimini ushbu ko‘rinishda izlaymiz
.
U holda (9) sistema quyidagi ko‘rinishni oladi

Shunday qilib,
, ,
,

bulardan foydalanib quyidagiga ega bo‘lamiz:


Integrallarni hisoblab, ushbu tenglamalar sistemasiga kelamiz:

Bundan , larga ega bo‘lamiz.
Chegaraviy masala taqribiy yechimi quyidagicha bo‘ladi:

Yechimlarni taqqoslash uchun diskret nuqtalarda aniq va taqribiy yechimlar orasidagi o’rtacha kvadratik xatolikni quyidagi formula yordamida hisoblaymiz:

Endi chegaraviy masalani integralli eng kichik kvadratlar usuli bilan yeachamiz.
Chegaraviy masala yechimi quyidagi ko‘rinishda izlanadi
.
Shunday qilib va bo‘lsa, (8) sistema ushbu ko‘rinishni oladi

bu yerda





va ga nisbatan quyidagi chiziqli sistemaga ega bo‘lamiz:

Bu sistema , yechimga ega.
Chegaraviy masala taqribiy yechimi quyidagi ko‘rinishni oladi: