Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги


Агар ф (л:) ёки ф (л:) чизиқ-


bet36/186
Sana19.02.2022
Hajmi
#458735
1   ...   32   33   34   35   36   37   38   39   ...   186
Bog'liq
Hisoblash metodlari. 1-qism (M.Isroilov)

Агар ф (л:) ёки ф (л:) чизиқ-
ли функция, масалан ф (
х ) ~
= а х- \- Ь
бўлса, у вақтда (1.2)
тенгламачинг илдизларини ажра-
тиш соддалашади. Фақат 
а
ва 
Ь
1
=
0
21
,
www.ziyouz.com kutubxonasi


козффициентлари билан фарқ қилади-
ган бир хил типдаги бир нечта тенг-
ламаларнинг 
илдизларини 
ажратиш
учун график усули қулайдир. Чунки
бу ерда илдизларни ажратиш (илдиз-
ларни тақрибий топиш) битта тайин
у
= ф (л:) функция 
графиги билан
ҳар хил 
у = ах
 +
Ь
тўғри чизиқлар
кесишиш нуқталарининг абсциссалар-
ини тогишдан иборатдир. Бу типга
х п 
ах -\- Ь —
0 кўринишдаги тенг-
ламалар мисол бўла олади.
М асалан, 
х3 + 2х
— 1,2 = 0 
ва
х3
— 1,2* + 0,1 = 0 тенгламалар илдиз-
ларининг тақрибий қийматлари то-
пилсин. Буни ечиш учуи 
у — х3
 
ку-
бик параболани чизамиз. 
Сўнгра 
у =
 — 2 х + 1 ,2 ва 
у = 1,2х
—0,1
тўгри чизиқларнинг парабола 
билан 
кесишиш нуқталарининг
абсциссаларини топамиз.
4 - чизмадан кўриниб турибдики, биринчи тенглама фақат бйтта
ҳақиқий илдизга эга бўлиб, 
иккинчи тенглама зса учта
= — 1,1, £2 =^0,1 ва 
зг 1 
ҳақиқий илдизларга эгадир. Агар
/ ( г )
= 0 тенгламанинг комплекс илдизларини топиш керак бўлса,
г
 =
х
 +

деб олиб, бу тенгламани
А( х, у)
+
1Д(х, у)
= 0
кўринишда ёзиб оламиз, бу ерда / ,
(х, у)
ва / 2 
(х, у)
ҳақиқий
х
ва 
у
ўзгарувчиларнинг ҳақиқий функциялари. Бу тенглама эса
қуйидаги иккита
ЎАх,
У) = 0, 
/ 2(х,
у) = 0
тенгламалар системасига тенг кучлидир. 
Энди 
/ \ ( х, у)
= 0 ва
/ 2(х, у)
= 0 эгри чизиқларни чизиб, уларнинг кесишган нуқта-
ларини топамиз. Кесишиш нуқталарининг абсцисса ва ординатала-
ри / (
г
) = 0 тенглама ечимларининг мос равишда ҳақиқий ва мав-
ҳум қисмларини беради.
А лгебраик тенгламаларнинг ҳақиқий илдизларини а ж р а -
тиш . Алгебраик
/ ( х )
=
а0х п
 +
а хх п~х
+ . . . +
ап-\Х
 +
ап
 = 0 
(1.3)
генгламанинг илдизларини ажратиш масаласи яхши ўрганилган ва
анча осондир. Қуйидаги теоремаларнинг биринчиси бошқаларига
нисбатан умумийроқдир, чунки у комплекс илдизларнинг ҳам че-
гараларини беради. Биз ҳар доим (1.3) тенгламада коэффициентлар
ҳақиқий ва 
а0
+ 0, 
ап
+ 0 деб оламиз.
1 -т еор ем а. Агар
А =
шах
, А х
= т а х
1<А<п
а0
0<А<п-1
ап
www.ziyouz.com kutubxonasi


бўлса, у ҳолда (1.3) тенгламанинг
барча илдизлари
г
1
1 + А
<
\х\
 < 1 +
А
=
Н
ҳалқа ичида ётади (5- чизма).
И сбот. Фараз қилайлик, 
\х\
 > -1
бўлсин. 
Модулнинг 
хоссаларига
кўра
|/ ( х ) | = [а0х * ( 1 + - ^ + . . . + - ^ )


а0х
а0х п]
> \айх п\

- А ( ±
• • • +
+1—1
\а0х п
 |
+ / — 1 — 
А
+ 1 - 1
Агар биз бу ерда 
\х\
> 1 +
А
деб олсак, у ҳолда 
\/{х)\
> 0 тенг-
сизлик келиб чиқади. Бошқача қилиб айтганда, 
х
нинг бу қий-
матларида / ( х ) кўпҳад нолга айланмайди, яъни (1.3) тенглама ил-
дизга эга бўлмайди. Шу билан теореманинг ярми исбот бўлди.
Теореманинг иккинчи ярмини исоотлаш учун 
х = —
деб 
олиб,
/ ( * ) =
~ § ( у )
га эга бўламиз, бу ерда 
§(у)
=
апуп
 +
ап-хуп~1
 +
+ . . . + а 0. Теореманинг исбот қилинган қисмига кўра 
§(у)
кўп-
ҳаднинг 
у к
— илдизлари (ноллари)
хк
|у*1 =
1
+ А|
< 1 +
тенгсизликни қаноатлантиради, бундан эса
1**1 >
1
1+А
келиб чиқади.
Э с л а т ма . Бу теоремалаги 
г
ва /? сонлар (1.3) тенглама мусбат илдиз- 
ларининг қуйи ва юқори чегаралари бўлади. Шунга ўхшаш 
— Я
ва 
— г
сон- 
лар манфий илдизларининг мос равишда қуйи ва юқори чегараси бўлади. 
Илдизларнинг чегаралари учун бу теоремадаги баҳо анча қўполдир. Қуйи- 
даги теоремалар бунга нисбатан анча яхшироқ баҳоларни беради.
2-т ео р ем а (Лаграчж теоремаси). Агар (1.3) тенгламаншгг ман-
фий коэффициентларидан энг биринчиси (чапдан ўнгга томон ҳи-
соблаганда) 
ак
бўлиб, 
В
манфий коэффициентларнинг абсолют
қийматлари бўйича 
энг каттаси бўлса, у ҳолда мусбат илдизлар-
нинг юқори чегараси
Н - 1 + / 1
 
(1.4)
сон билан ифодаланади.
29
www.ziyouz.com kutubxonasi


И сбот. Бу ерда ҳам 
х > I
деб оламиз. Агар 
/ (х)
кўпҳадда
манфий бўлмагдн 
барча 
+ , 
'аъ 
, ак- Х
коэффициентларини
ноль 
билан алмаштириб, қолган барча 
ак, аь+и . . . , ап
коэффи-
циентларини эса —
В
манфий сон билан алмаштирсак, кўпҳаднинг
қиймати фақат камайиши мумкин, шунинг учун ҳам
/ ( х ) > а 0х п
 — 
В(хп~к
 +
х п~к~1
 + . . . + ! ) _
-
=
а 0х п
 — 
В
 
----- 1
тенгсизликка эга бўламиз. Бундан эса 
х
> 1 бўлганда
п—к+1
/г—&+Х
/ ( х )
>
а0х п
— 
В
 —
— 1 =
} - 
[а0х к~Қх
 — 1) — 5 ] >
п-к+1
> ^ Г Г [а0( х - \ ) к - В \
келиб чиқади. Демак,
1 +
т У -
=
%
бўлганда 
/ ( х )
> 0 га эга бўламиз, яъни (1.3) тенгламанинг барча
х +
мусбат илдизлари ас; <
В
тенгсизликни қаноатлантирар экан.
3- 
теор ем а (Ньютон теоремаси). Агар 
х = с >
 0 учун 
/ ( х )
кўпҳад ва унинг барча 
/ ’(х), /"(х),
. . . , /<
п>(х
) ҳосилалари но-
манфий бўлса: 
/ (к)( с ) >
0 (Уг = 0, 
1, . . . , 
п),
у ҳолда 
В
=
с
ни (1.3) тенгламанинг мусбат илдизлари учун юқори чегара деб
ҳисоблаш мумкин.
И сбот. Тейлор формуласига кўра 
.
/ ( х ) = / ( с ) + / ' ( с ) ( х — с)
+ . . . + - ^ г ^ -
(х - с)п.
Теорема шартига кўра 
х
>
с
бўлганда бу тенгликнинг ўнг томони
 
мусоатдир. Демак, (1.3) тенгламанинг барча 
х+
мусбат илдизлари
д:+ <
с
тенгеизликни қаноатлантиради. 
.
Бу теоремалар фақат мусбат илдизларнинг юқори чегарасинн
аниқлайди. Қуйидаги: 
.
/ г(Х)
= ( — 1)"/( — 
х)
=
а 0х п
 — 
ахх п~1 + а 2х п~2
 — . . . + ( — 1 
)па,„
• 
/ Қ х )
=
х п/
 
=
а пх п
 +
ап-
1
Х
п~1 + . . . +
а хх
 +
а 0,
/ г (х )
= ( - л:)"/( ~ зг) =
а пхП ~ ап-
1
Хп~
1 + . . . + ( - 1 
)па0
кўпҳадларга юқоридаги теоремаларни қўллаб, 
/ ( х ) , / Қ х ) , / 2(х),
/ з ( х )
лар мусбат илдизларининг юқори чегаралари /?0, 
/?з ва
/?3 ларни мос равишда топган бўлсак, у вақтда (1.3) тенглама-
нинг ҳамма 
х+
мусбат илдизлари — <
х+
 
/? ва ҳамма 
х~
ман-
/?2
фий илдизлари эса — /?, <
• — тенгсизликларни қаноатлан-
тирар экан.
30
www.ziyouz.com kutubxonasi


Қуйидаги мисолда биз юқорида келтирилган методларни қўллаб
уларнинг натижаларини солиштирамиз.
М и с о л . Қуйидаги тенглама ҳақиқий илдизларининг чегараси топилсин:
/ (
а
: ) =
л
:4 — 5лг2 + 8х — 8 = 0. 
(1.5)
2- теоремани қўллаймиз, бу ерда 
а0 —
1, + = 8. Демак, 
К
= 1 + 8 = 9, яъни
(1.5) тенгламанинг илдизлари (— 9; 9) оралиқда ётар экан.
Энди Лагранж теоремасини қўллаймиз: 
а0 =
1. й = 2, 
В
= 8. Бу қиймат- 
ларни (1.4) формулага қўйиб, мусбат илдизларнинг юқори чегараси учун
Д = 1 + | / ^ , = 1 + 2)Г2 < 3,84
ни ҳосил қиламиз. Кейии (1.5) тенгламада 
х
ни 
— х
га алмаштирсак,
ўх{х)

х*
— 5*2 — 8д: — 8 = 0 
"
(1.6)
тенглама келиб чиқади. Бу тенглама мусбат илдизининг юқори чегараси 
учун ҳам 
Я <
3,84 тенгсизлик келиб чиқади. Яъни Лагранж теоремасига .кў- 
ра (1.5) тенгламанинг илдизлари ( — 3,84; 3,84) оралиқда жойлашган экан.
Ньютон методини қўллайлик. Бу ерда 
/ ( х) — х*
— 
5х2
— 

— 8, 
/ ' ( х ) =
= 4х3— 
10х —
8, 
/ ”(х)
12х2 — 10, 
/'"(х) —
24х, 
/™(х)
= 24. Кўриниб ту-
рибдики, л: > 2 учун / 1У(х) > 0, 
ў"(х)
> 0, 
/ " ( х)
> 0 ва 
/ ' ( х ) >
0. Осонгйна 
пайқаш мумкинки, 
х >
2 б.ўлса, 
/ ( х)
ҳам фақат мусбат қиймат қабул қила- 
ди, яъни с = 2 мусбат илдизларнинг юқори чегараси экан. Худди шунинг- 
дек, 
ў ( х ) =
0 тенглама мусбат илдизларининг юқори чегараси 
с
= 3 эканли- 
гига ишонч ҳосил қиламиз. Демак, (1.5) тенгламанинг илдизлари (— 3; 2) 
оралиқда ётар экан.
Ҳар учала метод натижаларини солиштиреак, Ньютон методи гарчи кўп- 
роқ меҳнат талаб қилса-да, илдизлар чегаралари учун яхшироқ натижа бе- 
риши кўринади. 


Download

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   32   33   34   35   36   37   38   39   ...   186




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish