|
элементлар ораси-
м
www.ziyouz.com kutubxonasi
даги масофа) дейилади. Метрик фазонинг элементлари одатда унинг
нуқталари дейилади.
X
тўпламда масофани ҳар хил усуллар билан
киритиш мумкин, у ҳолда
X
ҳар хил метрик фазоларни ҳосил қи-
лади.
Фараз қилайлик,
X п
ўлчовли
х
= (лҳ,
х 2,
. . . ,
х
п) векторлар
тўплами бўлсин. Бу тўпламда биз уч хил масофа киритамиз.
1
. К убик ёки
т
м а со ф а . Бу қуйидаги
Рт(х, У)
= гпах
\хк
—
у,|
(4.1)
1
<£<л
тенглик билан аниқланади.
1
- ва
2
- аксиомаларнинг бажарилиши
ўз-ўзидан равшан. Учинчи аксиома эса қуйидагича текширилади:
?т(х,
У) = шах | + — у,| = шах |(х £ —
г ь)
+
(г, - у {)
I
I
I
< т а х (
\хI
—
г {\
+
\г,
— у , | ) < т а х
\х, —
+ | +
I
I
+ т а х |+ — у
*1
=
рт(х,
г ) + р , и(г,
у).
2. О ктаэдрик ёки
8
м асоф а. Бу қуйидаги
П
Р*(Х, У) =
У
1м-У«|
(4.2)
тенглик билан аниқланади. Бу ерда ҳам учинчи аксиоманинг ба-
жарилишини текшнрамиз:
Р*(х < У) =
2 1М ~ У<| = 2 I
(XI
- +) + (г, - у,) | ^
1=1
1 = 1
п
п
< 2 1*1 “
г ‘\
+ 2
—
у<1
=
Р*(х,г)
+ Р
4
(г ,у ).
/=1
1=1
3. Сферик ёдЧИ / м асоф а. Бу масофа қуйидаги
Р
1(Х,
У) =
2(*<~У<)а
1
—
1
(4.3)
тенглик билан аниқланади. Бу ерда учинчи аксиомани текширишда
Коши-Буняковский тенгсизлиги
2
а1Ь1
1= 1
2
«?
1=1
2
ь \
1 =1
/2
дан фойдаланамиз:
р](х,
У) = 2
( X I
-
У
*)2
= 2
(
( X I
—
+ ) + ( + — у 4)
]2
=
1
=
1
2
( х{
-
+ ) 3
+ 2
2
(X, - + )
( г{ — у,)
+ 2 ( + - У / ) 2
1=]
1=1
< Р % х ,
г )
+ 2?1{х, г)
рДг,
у)
+ р?(г, у) = [рДх,
г) +
рДг, у )
]2
яъни
48
Р{(х,
У ) < р {(х,
г) + рДг,
у).
www.ziyouz.com kutubxonasi
X
тўпламда бу метрикалар ёрдамида киритилган фазолар ўзаро
фарқли метрик фазолардир.
т
метрика билан аниқланган фазо одатда
тп
орқали белгила-
нади. Учинчи метрика билан аниқланган фазо
п
ўлчовли Евклид
фазосидир.
•.
X
метрик фазонинг
р(х,
х 0) <
8
шартни қаноатлантирадиган нуқталарининг тўплами маркази
х 0
да^
ва радиуси
8
га тенг бўлган
ёпақ шар
дейилади.
Бирор метрик фазодаги шар бошқа фазода тамоман бошқа фи-
гурани ташкил этади. Масалан,
тп
фазодаги
Р
т(х, х 0)
<
8
шар
п
ўлчовли Евклид фазосида маркази
х 0
=
(х[0), х р ,
. . . , х ^ ) ,
нуқтадаги
п
ўлчовли кубдан иборатдир. Худди шунга ўхшаш
Р,(х,
х 0) <
8
шар эса маркази х
0
нуқтадаги октаэдрдан иборатдир.
Бизга кейинчалик учбурчак тенгсизлигининг қуйидаги натижа-
си керак бўлади. Ихтиёрий х , у,
г, а £ Х
нуқталар учун
|р(< У )— Р(г, « ) |< р ( М г ) + р ( у ,
а)
(4.4>
тенгсизлик ўринли. Ҳақиқатан ҳам, учбурчак тенгсизлигига кўра
Р(х, у)
< р(х, г) + р(г, у ) < р ( х ,
г) + р(г, и) + р(и,
у)
(4.5)
тенгсизликларни ёзишимиз мумкин.
Бундан
Р(х, У) — Р(г,
и) < р ( х ,
г)
+ р(у,
и),
(4.6)
б у тенгсизликда х , у лар билан
г, и
ларнинг мос равишда ўрин-
ларини алмаштирсак,
р(г,
и)
— р(х,
у)
< р(х,
г)
+
р(у,
и)
(4.7)
келиб чиқади. Знди (4.4) тенгсизлик (4.6) ва (4.7) дан келиб чи-
қади. Масофа метрик фазода табиий равишда яқинлашиш тушун-
часига олиб келади.
X
метрик фазода бирор {х„} кетма-кетлик
берилган бўлсин. Агар
п-+
оо да р(х„, х ) - > 0 бўлса, у ҳолда б у
кетлга-кетлик
X
фазонинг х нуқтасига яқинлашади дейилади ва
х „ - > х ёки Пш х„ = х каби ёзилади. р(х, у ) масофа х ва у эле-
П-+
оо
ментларнинг узлуксиз функцияси, яъни агар х „ - > х ва у„-> -у
бўлса, у ҳолда:
р(*л, Ул)-»-р(*. у)
эканлигини кўрсатиш қийин эмас. Ҳақиқатан ҳам, (4.4)
тен-гсиз*
ликда
г
ва
а
ни мос разишда х„ ва у„ билан алмаштирсак;
1р
(хя, Уп) ~ Р (х, У)
I < Р
(хп, х)
+ р (у„, у ).
4 —2105
49
www.ziyouz.com kutubxonasi
Б у тенгсизликнинг ўнг томони нолга интилади. Демак,
■
р{хя, Уп) ->?(х, у).
Метрик фазода ҳар бир яқинлашувчи кетма-кетлик биргина лимит
нуқтага эга бўлиши мумкин. Ҳақиқатан ҳам,
х п- > х
ва
х п -+ у ,
яъни лимит нуқталар иккита
х
ва
у
бўлсин. У ҳолда учбурчак
тенгсизлигига кўра
0
<
р(х, у)
<
р(х, х п)
+
р(хп, у).
Б у тенгсизликларнинг ўнг томони
п - >
оо да нолга интилганлиги
учун
р(х,
у) =
0
, яъни
Хг = у .
X
метрик фазодаги ҳар қандай яқинлашувчи {
х
п} кетма-кет-
лик Больцано-Коши аломатини қаноатлантиради. Ҳақиқатан ҳам,
агар
х п- > х ,
у ҳолда берилган е
> 0
учун шундай
« 0
=
« 0
(е)
мавжудки, ҳар қандай
« > « 0
учун
р(хп,
х ) < - ^ - е
тенгсизлик
бажарилади. Бундан / г > я
0
ва
т > п 0
учун
Р(*«,
Хт)
<
р(хп, х)
+ р(х,
Хт)
<
~
е + ~ е = е
бўлади.
Тескариси, умуман айтганда, нотўғридир, чунки шундай мет-
рик фазолар мавжудки уларда кетма-кетлик учун Больцано-Коши
белгисининг бажарилишидан бу кетма-кетликнинг шу фазода яқин-
лашувчи эканлиги келиб чиқмайди. Масалан, рационал сонлар тўп-
лами /? да масофани р(г,, г2) =
— г2| формула билан киритсак
б у тўплам, равшанки, метрик фазога айланади, аммо бу фазода
|г „ =
[1
+-^-)"} кетма-кетлик рационал сонлар кетма-кетлиги бў-
либ, рационал сонга яқинлашмайди, чунки Птг„ = Н т(
1
+ —)”=
П-»
00
п—оо'
П'
—
е — трансцендент сондир.
Шунинг учун ҳам биз қуйидаги
•таъркфни киритамиз.
Агар
X
метрик фазода Больцано-Коши аломатини қаноатлан-
тирувчи ҳар қандай
{хп}
кетма-кетлик
яқинлашувчи бўлса, у
ҳолда
X метрик фазо тўлиқ
дейилади. Тўлиқ метрик фазолар
учун яқинлашиш ҳақидаги теорема ўринлидир:
{хп}
кетма-кетлик
яқинлашувчи бўлиши учун бу кетма-кетлик Больцано-Коши ало-
матини қаноатлантириши зарур ва етарлидир.
Қисқартириб ак с эттириш принципи. Фараз
қилайлик,
X
тўлиқ метрик фазо бўлиб, ср(х) эса шу фазода аниқланган опера-
тор бўлсин. Агар шундай бирдан кичик мусбат сон мавжуд б ў -
либ, ихтиёрий икки
х, у
£
X
элементлар учун
Р(ф(*), Ф(У))
< 9 Р ( х , У)
(4.8)
тенгсизлик бажарилса, яъни
9
оператор
X
фазо элементларини
яқинлаштирса, бу оператор
X
фазони ўзига
қисқартириб акс
эттиради
дейилади.
,
во
www.ziyouz.com kutubxonasi
Биз энди
х —
ф(х)
(4.9)
операторли тенгламани ечиш масаласини кўриб чиқамиз.
1
-
т ео р ем а . Агар <р(х) оператор ва дастлабки яқинлашиш
х 0,
қуйидаги шартларни қаноатлантирса:
1)
р(х, х
0) < 8
(4.10)
шардан олинган ихтиёрий икки
х ва у
элемент учун
р(ср(х),
ф
(
у
) ) < <
7
р
(
х
, у)
(
0
< <
7
< 1);
(4.11)
2
) қуйидаги тенгсизликлар ўринли бўлса:
'
Р (
ф
(
х
0),
х 0)
<
т],
<
8
,
(4.12)
у ҳолда (4.9) тенглама (4.10) шарда ягона £ илдизга эга бўлиб,
{х„ } кетма-кет яқинлашишлар бу ечимга интилади ва интилиш
тезлиги
' Р(^«*
Г = 7
(4.13)
билан аниқланади.
.
И сбот. Аввало {х„} кетма-кетликни қуриш
мумкиялигини,
унинг элементлари (4.10) шарда ётишини ва
•
р
Х -
н
, *
я
)< 'Ф 7
л
(4 .1 4 )
тенгсизлик ўринли эканлигини индукция методи билан кўрсатамиз.
Шартга кўра х
0
(4.10) шарда ётади ва унда ф(л) аниқланган,.
шунинг учун х , = ср(х0) ни қуриш мумкин.
Кейин (4.12) дан
Р(Х\, х 0) — р('?(х0), х 0)
< т) келиб чиқади. Демак, (4.14) тенгсиз-
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
