лик
п
= 0 да ўринли экан. Бундан ташқари, (4.12) га кўра.
т) < ^ - з ^ - < 5 , демак, лҳ (4.10) шарда ётади. Энди
х и х 2,
. . ,
х т
қурилган, (4.10) шарда ётади ва улар учун
р(х,!+и х к)
цк (к =
0, 1, . . . ,
п
— 1)
(4.15)
тенгсизликлар ўринли деб фараз қиламиз. Индукция шартига кўра
х п
(4.10) шарда ётади, ср(х) оператор (4.10) да аниқланган, шу-
нинг учун ҳам
х п+\
= <р(хл) ни қуриш мумкин. Сўнгра, (4.12) га.
кўра
р(хп+и х п)
< ?
р(хп, х п-х).
Энди (4.15) да
к — п
— 1 деб олиб, бундан
р Х +
1
,
х п)
<
7
!<
7
Л
ни ҳосил қиламиз. Ниҳоят, х
„+1
нинг (4.10) да ётишини кўрса-
тиш қолди. Бунинг учун р(хп+
1
,
х 0)
масофага бир неча марта
51
www.ziyouz.com kutubxonasi
учбурчак тенгсизлигини қўллаймиз ва (4.15) дан фойдаланамиз:
Р
(Хп+1, Х0)
< р(Х„+Ь
Хп) +р( Хп, Хп-\)
+
. . .
+
р ( ^
1
,
Х0)
<
<■»1^"+.'Ч^П-1+' • • • + Ч <7° <
< 8-
Энди {х„} нинг фундаментал кетма-кетлик ташкил этишлигини
кўрсатамиз. Ихтиёрий
р
натурал сон учун (4.14) га кўра
Р(Хп+р, х п)
<
Р(Хп+р>
Л^п+р-0 + • • • +
Р(Хп+\> х ^
<
<
7 ]
д п + Р
~ 1 +
. . . +
т )
д п
Ч9Я(
1 - . д р)
1
■
<
1 - д
еки
Р
(Хп+р, х п)
< у-у—
’Яп.
(4.16)
Бу тенгсизликнинг ўнг томони
п
->
оо
да нолга интилади. Демак,
{хп}
кетма-кетлик фундаментал бўлиб,
X
фазо ёпиқ бўлгани учун
унинг лимити | = Нш
х п
мавжуд.
П-+ оо
Масофанинг узлуксизлигидан фойдаланиб
р(хп,
л
:0) < 8
тенг-
сизликда
п - >
оо
да лимитга ўтсак, р(§, д
:0) < 8
келиб чиқади,
яъни
I
ҳам (4.10) да ётар зкан. Кейин, р(ср(гп), ? © ) < ? р ( ^ , I)
тенгсизликнинг ўнг томони нолга интилганлиги сабабли <р(хп) ->
-><р(|). Энди
х
п + 1
— ч(хп)
тенгликда лимитга ўтсак
%
—
<р(|) ке-
либ чиқади, демак, £ (4.9) тенгламанинг ечими экан. Энди бу
илдизнинг ягоналигини кўрсатамиз. Фараз қилайлик,
(4.9) тенг-
ламанинг (4.10) сферадаги бирор ечими бўлсин, ^ = £ эканлиги-
ни кўрсатамиз. Ҳақиқатан ҳам (4.11) га кўра
р ( ? ь Э = = р ( 9 ( Ь ) . Ф © ) < < 7 Р(?1 Ю,
1
бўлганлиги учун бу муносабатлар фақат
1\
= | бўлган-
дагина бажарилади.
Ниҳоят, (4.13) тенгсизликнинг бажарилишини кўрсатиш қолди.
Уни кўрсатиш учун (4.16) тенгсизликда
р - >
оо да лимитга ўтиш
кифоядир.
Чизиқли бўлмаган тенгламалар системасини итерация ме-
ъоди билан ечиш. Эиз энди итерация методи билан
/ \ (Х\, х 2, .
. . ,
х п)
=
0
,
/<1
(-^
1
*
Х2, ■
. . ,
х п)
=
0
,
(4.17)
/п(Х\, Х2,
. .
• ,
х п)
=
0
тенгламалар системасини ечиш масаласига ўтамиз. Бунинг учун
аввал (4.17) системани бирор усул билан қуйидаги каноник шакл-
га келтириб оламиз:
Х\ —
х 3, . . . , х п),
х 2 = <р2(Х\, х 2, . . . ,
х„),
(4.18)
Хп
'Рп(Х
\ ,
Х2,
. . • ,
Хп) .
52
www.ziyouz.com kutubxonasi
фараз қилайлик, х<0) = (л:<0),
4
0), . . . .
л<0)) дастлабки яқин<
лашиш топилган бўлсин, у ҳолда кейинги яқинлашишлар қуйида-
гича топилади:
*(*>, . . . ,
х ^ ) ,
■
^
а
-
1
-
1
) = <р
2
(лс<й>,
х[к\ . . . , хЮ),
(4.19)
4 6+1> = «ғ»(4А). 4 А)> • • • > 4 й))-‘
Бу итерацион жараён яқинлашишинияг етарли шартларини аниқлаш
учун қисқартириб акс эттириш принципини қўллаймиз. Шу мақ-
садда
п
ўлчовли векторлар фазоси
Нп
да
х = (хи х 2,
, х п)
вектор ва (4.18)
системанинг ўнг томонидаги
?и ?2, ■ ■ . ,
функцияларнинг қийматларидан тузилган Ф = (фь ? 2, . . . , ?„)
векторни олиб у
==
ф
(
х
)
операторни аниқлаймиз. Бу оператор
/? п
ни
/?„ га ёки
к п
нинг бирор қисмига акслантирзди. Бу оператор
ёрдамида (4.18) система
я = ф (х),
(4.20)
(4.19) итерацион жараён эса
зй-«*+1» = ф(х<А>)
(к = 0,
1, 2, . . .)
(4.21)
кўрипишида ёзилади. Энди (4.20) тенгламага 1- теоремани қўллаш-
учун теореманинг (4.11) шартида қатнашадиган
<7
ни ф2, ®2, . . . ®п,
лар орқали ифодалаш керак. Бундай ифода масофага боғлиқдир.
Биз юқорида
Нп
фазода уч хил масофа тушунчасини киритган
эдик. Ҳар бир масофада
д
нпнг ифодасини топамиз.
1
.
т масофада:рт(х,
х<0)) < 5 шардан ихтиёрий иккитах =
(хг
х 2,
. . . .
Хп)
ва
у
=
(Уи Уг, ■
• • ,
Уп)
вектор олиб ва
уфх), ?2(х)\
. . . ,
?„(х)
функциялар бу шарда узлуксиз хусусий ҳосилаларга
эга деб фараз қилиб, бу нуқталар тасвирларининг
?^(х)
ва срДу)
координаталарини кўрамиз:
)?Д 4 - 'РДУ) I =
\?<{Хи
х 2, . . . , х п)
-
ф
ДУ1,
у2,
. . . ,
уп)
| =
Б у ерда ҳосиланинг қиймати
х
ва
у
нуқталарни бирлаштирадиган
тўғри чизиқнинг
х
нуқтасида ҳисобланган. Бу нуқта
х, у
ва
I
га
боғлиқдир. Юқоридаги баҳо
х, у
ва
I
га боғлиқ бўлмаслиги учун
П
/ - 1
дх
у
ни т а х т а х
I
х
п
/ —1
д?1_
дх]
www.ziyouz.com kutubxonasi
та алмаштирамиз, бу ерда
х
бўйича максимум
рт(х,
х (
0
) Х
8
шар-
даги энг катта қийматни Силдиради.
Натижада биз
П
Р
« (? (* ).
ф (у )
)
< шах
шах V ]
I р„
{ х , у)
I
X
д х ,
/ = 1
та эга бўламиз. Бундан кўринадики, 1 - теореманинг (4.11) шарти-
даги
<7
сифатида
цт
= т а х т а х
1
х
V
|
I
ОХ:
/ =
1
(4.22)
■ни олишимиз мумкин.
II.
5
масофада.
Юқоридагига ўхшаш ишларни рДл;, х
(0)) < ; 8
шарда бажариб қуйидагини ҳосил қиламмз:
2
1
-Бундан эса
<Р/(У)|
п
1
гпах т а х
/
д:
°1
д х ,
р*(ф(*). ф (у)) ^
а
( * . у).
/=1
Я з
келиб чиқади.
III.
I масофада.
■-сидаги
П
1 = 1
гпах гпах
/
X
&Ч1
д х
у
Қаралаётган
р,(х,
х (0))
шар Евклид фазо-
(х,
— х
(0))2
! <
8
шардан иборатдир. Бу шардан ихтиёрий иккита
х
ва
у
нуқталар-
ни олиб қуйидагиларни ҳосил қиламиз:
!?/(•*) —
ф
Д
у
) I
2
=
д
дХ:
( < - У ; )
/=1
< т а х
/ =
1
М
2
КдХ]}
92,(х,у);
92
М ( х ),
?(
у
) ) = > , [?;(<) — ?Ду) I
2
< 9 ? Р
2
(х, у),
£=
1
л
72Т
т а х
V
/= 1
Шундай қилиб, учала масофада
ҳам
ц
нинг ифодасини топдик.
Энди
1
- теоремадан фойдаланиб, итерация жараёни яқинлашиши-
54
www.ziyouz.com kutubxonasi
нинг етарли шартини бериш мумкин. Биз буни фақат
т
масофа
учун таърифлаймиз, қолган иккита масофа учун теоремани таъриф-
лашни ўқувчиларга ҳавола қиламиз.
2- т еор ем а. Фараз қилайлик:__ _
1
)
{(хи х 2,
. . . ,
х п) (I
=
1
,
п)
функциялар
шах
\х —
л
(0)| < 8
(4.23)
соҳада аниқланган. ва узлуксиз дифференциалланувчи бўлсин;
2
) бу соҳада
П
шах
X
дХ]
^
Я < \
(I
=
1
,
п)
(4.24).
тенгсизликларни қаноатлантирсин;
3) дастлабки яқинлашиш
х {°\ х<2°\
. . . .
х {^
учун
И 0) —
ь ( х \0),
4 0)> • • • » 4 0))1 <"4
V
=
п). т = у < 8
шартлар бажарилсин. У ҳолда (4.18) тенгламалар системаси (4.23)
соҳада ягона £ = (£,, ?,2> . • . , £„) ечимга эга бўлиб, (4.19) тенг-
ликлар билан аниқланадиган кетма-кет яқинлашишлар бу ечимга
интилади ва интилиш тезлиги
( 1 = 1 , п)
тенгсизликлар билан баҳоланади.
Энди оддий итерация методи ёрдамида мисол ечишни кўрсата-
миз.
М и с о л. Қуйидаги
/ ,
(х, у)
=
2х2
—
х(у
+ 5) + 1 =
0,
М х , у)
=
д:
+
31§лг — у
2
=
0
системанинг мусбат илдизлари тўртта маънэли рақам билан топилсин.
Е ч и ш.
/ г(х, у)
= 0 ва
/ 2(х, у) =
0
функцияларнинг графикларини ясаймиз
(
1 1
-чизма). Бизни қизиқтирадиган ил-
дизнинг
такрибий
қиймати
лг
0
=3,5;
у
0
=
2,2
дир.
Итерация методини қўллаш учун бу
системани қуйидаги
= / 0,51+(у
5 )— 1] =
Ч\(х,у), У
=
=
V х
+ 31£х = <р
2
(эс, у)
каноник шахлга келтирамиз. Энди 2- те-
орема шартларини текширайлик. Бунинг
учун дастлабки яқинлашишнинг
1
лг—3,51 < 0,1: |у — 2,2) < 0,1
атрофида (4.22) шартни текшириб кўра-
миз;
дд>1 _ ____ У + 5____
дх
4/
х(У
+ 5 ) - 1 .
55
www.ziyouz.com kutubxonasi
4- жадвал
хк
Ук
0
3,5
2 ,2
1
3,479
2,259
2
3,481
2,260
3
3,484
2,261
4
3,486
2,261
5
3,487
2,262
6
3,487
2,262
<*?!
ду
х
4
V
■у(у + 5 ) - 1 ’
2
ЗМ
3
1 +
х
.
д'ь
п
дх
2 /
х
+ 318
х
дУ
'
бу ерда М = 0,43429 — ўтиш модули.
Куйидаги баҳога эга бўламиз:
т а х
х.
у
д1
дх
(2,3 + 5 ) / 2
< --- .. ..
=
4,. 3,4(2,1 + 5)
0,54;
т а х
х. у
7>7>Download Do'stlaringiz bilan baham: |