|
х =
| нуқтадаги қийматини ҳисоблаш талаб қилинснн.
Р п(х)
ни
х
— | га бўламиз, у вақтда
а 0х п
+
а хх п~1
+ . . . +
ап —
(
Ь0х
п~ 1
+
Ьхх п~2
+ . . . +
Ьц-\)(х
— I) +
Ьп
(2.1)
га эга бўламиз, Бу тенгликда
х
ўрнига £ ни қўйсак,
Ьп = Рп(Ъ)
ў-2105
33
www.ziyouz.com kutubxonasi
желиб чиқади,- демак Я„(£) ни ҳисоблаш учун
Ьп
ни топиш ки-
!<фоядир. (
2
.
1
) тенгликда л: нинг бир хил даражалари олдидаги коэф-
фициентларни тенглаштириб,
а 0
=
Ь0,
а х = Ь^ — Ь01,
■
а3 = Ь2 — Ьг1,
а п = Ьп — Ьп-\1
муносабатларга эга бўламиз. Бу тенгликлардан кетма-кет
Ь0, Ьх,
, . . ,
Ь„
ларни топамиз:
Ь
о =
а0,
Ь\ = а,
+
Ь0\,
Ь2 = а2-\- Ь£,
Ь п
=
а п
+
Ь п - 1
(
2
.
2
)
'Қўлда ёки клавишли машинада ҳисобланганда (
2
.
2
) тенгликларни
.{қуйидаги
0/\
—
1
^ п
ь,\ ь^ ь,
1
. . .
ьп- 21 ьп-
1
1
Ь0 Ьх
Ь2 Ь3 . . . Ьп-\ ьп = Р п(1)
схема шаклқца жойлаштириш маъқулдир, бу ерда
Ь0 = а0
бўлиб,
охирги қаторда бошқа сонларнинг ҳар бири унинг устида турган
иккита соннинг йигиндисига
тенг. Келтирилган схема Горнер
схемаси деб аталади, у Горнер томонидан 1819 й. эълон қилинган
эди. Агар биз (2.1) тенгликда
х =
1 деб олсак,' ҳисоблашнинг
'тўғри ёки нотўғрилигини текшириш имконини берадиган
а о
+ «! + - . . +
а п
=
Ьп
+ (1 — £)(й
0
+
Ьх
+ . . . +
Ьп-
1
)
муносабатга зга бўламиз. Агар фақат
Ьп
=
Р п(1)
ни ҳисоблаш та-
лаб қилинса, у ҳолда Горнер схемасини қуйидагича
Р
« Ш = (• •
.{(а0Ъ
+
а\)\
+
а 2)
+ • • ■
+
ап-\)%
+
ап
(2.3)
ёзиб оламиз. Бу усул кўпҳад қийматини ҳисоблаш учун ҳақигқа-
тан ҳам эффектив усулдир. Чунки (2.3) формула ёрдамида
Р п(1)
ни ҳисоблаётганда биз фақат
п
марта кўпайтириш амалини бажа-
,рамиз. Оддий йўл билан ҳисоблаганда эса £2,
I3, . . .
даража-
•ларни ҳисоблаш учун
п
—
1
марта кўпайтириш амалини ва а 0| л,
й
,
I"--1, . . . , ап-\
| кўпайтмаларни ҳосил қилаётганда яна
п
та кў-
пайтириш амалини, ҳаммаси бўлиб
2 п —
1
та кўпайтириш амалини
•бажаришга тўғри келар эди.
.М и с о л. Қуйидаги
Р \ х ) =
2л
:4
— 5х3 — З х + 1
www.ziyouz.com kutubxonasi
кўпҳаднинг
х —
1,5 нуқтадаги қийматини ҳисоблаймиз:
2 — 5
0
3
1
11,5
3 —3 —4,5 —2,25
|— .
2
- 2
—3 —1,5 —1,25
Демак, Р
4
(1,5) = — 1,25.
Кўпҳад ҳосилалариаинг қийматини ҳисоблаш,
Энди
Р„(х^
кўпҳад ҳосилаларининг х = Енуқтадаги қийматларини топиш ма~
саласини кўриб чиқайлик.
Агар
Рп(х)
ни
(х
— £) га бўлинганда ҳосил бўлган бўлинмани,
Рп-х(х)
=
Ьи<-0)х п- 1
+
Ьх<°'>хп~2
+ . . . +
Ь<°1Х
орқали белгилаб олсак, у ҳолда
Рп(х) = ( х - 1)Рп-1(х)
+ М°)
. (2.4>
тенглик келио чиқади.
Рп-\(х)
ни
(х
— £) га бўлинганда
ҳосше
бўлган бўлинмани
Р п-
2
(х)
=
Ь^Кх11-'2
+
ь\11хп~3
+
. . .
+ 60>2
десак,
Рп-г(х)
=
(х
Ь)Рп-ч(х)
+
Ь11^
тенгликка эга бўламиз ва ҳ. к. ( / ' +
1
) - қадамда Ая_ ;(х) ни
(х —
— с) га бўлинганда ҳосил бўлган бўлинмани
= й (/>^-/-1
+ ЬО<Х->-2 +
• • . + £<(!;_!
деб белгилаб,
.
Рп -
, { Х )
=
(X
- ?.)
(X) +
Ь<рч
(2.5)::
тенгликни ёзамиз. Натижада
РП(Х), Рп-\(Х), Р„—
’:(х),
. . . , Р ,(Г ),
Р0(Х)
кўпҳадлар кетма-кетлигини ва кўпҳадларнннг коэффициентлариданг
тузилган
а0
а,\
. ,. .
а
п- 2
0,11—1 а„
ь Т
.
А(0)
. • Ря-2
А(0)
Оп-1
/+ )
Ь Р
ь
[1 ) . .
/>(1)
. Оп-2
и(
1)
Ь{02)
.
/.(2)
. •
Оп-2
(2.6)
ьЬп- 1)ь\п- 1)
Ь {0п)
учбурчак матрицани ҳосил қиламиз. Агар
(I
= 0,
п)
де:.:'
олсак, у ҳолда Горнер схемасини кетма-кет қўллаб, қуйидаги
Ь Ц ^ Ь р - 1), ц п ^ ь и - к + ь ^ г ,
(2.7)-
(/ =
1
,
п —] , к = 0, п),
3&
www.ziyouz.com kutubxonasi
рекуррент фчрмулаларни ҳосил қиламиз. Энди (2.4) айниятни ҳам-
да (2.5) айниятии у == 1,
2,
, п —
1 учун ёзиб, кейингиларини
олдиигиларига олиб бориб қўйиб,
Р п(х)
=
ь
<°> + Ь < + (х - ? ) + . . . +
ЬМ(х - ЪУ
(2.8)
га эга бўламиз. (2.8) тенгликдан ва Тейлор қаторидаги ёйилма-
нинг яғоналигидан
Рп®
: Й<°>, —
/I ’
ц
11—1
’ л!
и
0
(2.9)
чи ҳосил қиламнз. Шундай қилиб,
Р п(х)
кўпҳад ҳосилалариьинг
I
нуқтадаги қийматларини то
1
иш учун биз (2.7) рекуррент форму-
лалардан фойдаланиб (
2
.
6
) учбурчак матрицани тузишимиз керак.
М и с о л. Қуйпдаги
Р , ( х )
=
2 х < — 5 х 3
+
З х
+ 1
кўпҳад ва унипг ҳосила
:арипппг
х
—
1,5 нуцтадаги қийматпнп топамиз.
Бу-
нинг учун
(2.6) матрицани тугамиз:
2
—5
0
3
1
2 —2
—3
—1,5
—1,25
2
1
— 1,5 —3,75
2
4
4,5
2
7
2
(2.9) формулатар :ап эса ҳосилагарнинг қийматларини топамиз:
Р ,( 1,5) = — 1,25; Р '(1,5) = — 3,75; /+ 1 ,5 ) = 21-4,5 = 9;
Р"
(1,5) = 31- 7 = 42
4
4
‘
4
Р [у( 1,5) = 2-4! = 43.
К ўпҳадн и квадратик у ч ҳ а д г а бўлгандаги бўлинма ва цол-
диҳни топиш . Маълумки,
Р п(х)
кўпҳадни квадратик
х*
+
р х
+
+
<7
учҳадга бўлганда ҳосит бўлган қолдиқ чизиқли функция
ах- \- Ь
бўлади, лекин қулайлик учун сиз бу чизиқли функцияни
махсус й„_
х(х
+
р)
+
Ьа
формада
ёзамиз:
а0х п
+ а
1
х
п“ 1
+ . . . + « „ =
(Ь0х п~2
+
Ъхх п~г
+ . . . +
6
„_
2
)(х
2
+
+
р х
+
д)
+
Ьп-\(х
+
р)
+
Ьп.
(2.10)
Бу муносабатда
х
нинг бир хил даражалари олдидаги коэффици-
ентларни тенглаштириб,
(
а0
—
Ь0,
\а-1 = Ьх+ р Ь 0,
I
а2 = Ь2
+
рЬх
+
цЪ0,
| ...................................................................
(
2
.
11
)
(а
„_1
=
Ьп
- 1
-\-рЬ
п - 2
+ дЬп-3,
(а„ =
Ьп + рЬп-
1
++'&„_
2
36
www.ziyouz.com kutubxonasi
тенгликларга эга бўламиз. Бу ердан
Ь0, Ьи . . . , Ьп
ларни топиш
учун, қуйидаги рекуррент муносабатлар ҳосил бўлади:
.
\Ь0
■
— ®
0
>
\Ьг
—
рЬ0,
|й
2
=
а2— рЬ
4
—
дЬ0,
|
Ьп-
1
=
йп-
1
рЬп-2
<7
Ьп-
з,
К =
ап — рЬп-
1
—
цЬп-
2
-
(
2
.
12
)
Ҳисоблашда осон бўлиши учун биз бу муносабатларни қуйидаги
схема шаклида ёзишимиз мумкин:
I
1
-С
>
З
з
0
1
О
г
Т
°
1
I
|
I
-
^
го
•
С п - \
■ — р Ь п -
2
.
— р Ь п -
3
С п
— р Ь п - 1
— д Ь п - 2
ь 0 ь х
Ь
2
Ь 3 .
.
.
Ь п -
1
ь п
Бу схемада охирги сатрдаги солллр учта олдинги сатрлардаги
сонларнинг йигиндисидан иэоратдир. Д ем т<.
( 2.12) ёрдамида ёки
юқоридаги схемадан фойдаланиГ),
Ь(
(г' =
1
,
п)
ларни топамиз ва
натижада бўлинма <Зп_
2
(х:) =
Ь0х
п~2
4
-
Ь{х п- 3
+ . • • +
Ь
п - 2
ва қол-
диқ
г г(х)
=
6
„ _
1
(эс + /?) +
бўлади.
3-§. ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШДА ИТЕРАЦИЯ МЕТОДИ
Оддий итерация методи.
Биз ҳозир оддий итерация (ёки
кетма-кет яқинлашиш) методи билан битта сонлн тенглама ми-
солида танишамиз. Бу методнинг умумий назарияси билам ке-
йинги параграфда танишиб чиқамиз. Итерация методини қўл-
лаш учун
}(х) = 0
тенглама унга тенг кучли бўлган қуйидаги
х
=
ф
(
х
)
(3.1)
каноник шаклга келтирилган ва нлдизлари ажратилган бўлиши
керак. (3.1) тенгламанинг илдизи ётган атрофнинг бирор
х0
■нуқтасини изланаётган илдизиинг нолинчи яқинлашиши деб
оламиз. Навбатдаги яқинлашишигш топиш учун (3.1) нинг ўнг
томонига
х0
ни қўямиз ва ҳосил бўлган ср(л'0) қийматини
Х\
би-
лан белгилаймиз, яъни
Х\ — (Р
( + ) •
(
3
-
2
)
Топилган
Х\
сонни (3.1) нинг ўнг томонига қўйиб, янги сон х 2=
=
(Х\)
ни ҳосил қиламиз. Бу жараёкни давом эттириб, п- яқин-
лашиш
х п
ни
(п
—
1
)- яқинлашиш
х п- \
ёрдамида топамиз:
х„ = ^(хп-
1
)
(« = 1, 2, 3, . . .).
(3.3)
Бу формула ёрдамида тогшлган сонлар
кетма-кетлигининг лимити,
яъни
Н т х л = £
(3.4)
37
www.ziyouz.com kutubxonasi
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
