|
рилган матрицали қатор йиғиндисининг элементлари бўлади.
Вектор нормаси тушунчаси асосида векторлар кетма-кетли-
гини яқинлашишини бошқача таърифлаш ҳам мумкин.
11»
www.ziyouz.com kutubxonasi
Т а ъ р и ф . Агар
\\х
—
х (А )|( -
у
О
.
к —
оо
'бўлса,
{х(к)}
векторлар кетма-кетлиги
х
векторга яқинлашади де-
йилади.
Бу таъриф яқинлашишданг аввалги таърифига эквивалент экан-
лигини исботлаш мумкин.
.
2 -т е о р е м а . Ушбу
ўринли бўлиши учун,
Н * - * (*)
11
; г
£ 0
бўлиши зарур ва етарлидир.
Бошқа сўз билан айтганда чекли ўлчовли чизиқли фазода нор-
ма бўйтча яқинлашиш координаталар бўйича яқинлашишга тенг
кучлидир.
И сбот (зарурлиги). Фараз қилайлик,
~х(к)^~£х,
гГъни барча
I =
■= 1, 2, . . . , /г учун Нтл;(А> = л:г бўлсин. Қуйидаги
еи е2,
. . . ,
_
к-*-
оо
еп
базис-векторларни танлаб
х — х<-к)
ни шу векторлар бўйича ёя-
'миз:
-
( А =
1
,
2
_____).
1=1
Агар
Ь —
шах
\\еД\
каби белгиласак, у ҳолда
,
*=1
Шунинг учун ҳам
Р - ^ Н ^ о .
Е т а р л и л и г и . Фараз қилайлик
П т
\\х
— л:<*>|| =
0
^-»00
бўлсин. У ҳолда
||х (^|) =
\\х
+
(х(к)
— Зс)|) < ||х|| + ||л:<*> —
х\\
бўлганлиги сабабли, ||л:(й>|| барча
к =
1
,
2
, . . . лар учун чега-
раланган, яъни ||л (/г>||
М (
к =
1, 2, . . .) бўлади. Энди ихтиё-
рий
к = 1, 2, . , .
учун
а к =
|х(*>| + . . . +
\х\к)\
нинг ҳам чега-
раланганлигини, яъни
а к
^
N (к =
1, 2, . . .) эканлигини кўрса-
тамиз.
1 2 0
www.ziyouz.com kutubxonasi
Тескарисини фараз қилайлик, яъни шундай
ки к2,
. . . индекс-
лар кетма-кетлиги мавжуд бўлсинки:
а к
----- »■
0
бўлсин. Ёзувни
'
ткт-*°°
қисқартириш мақсадида
а к
-----
>-0
деб ҳисоблайлик. Берилган век-
к-+
оо
торлар кетма-кетлиги { Л А)} га кўра янги векторлар кетма-кетлиги
~уМ = — ' = {у[к), У(2к),
• • • ,
У(к))' ■
у
х\к)
ни қурамиз. Бу ерда
у[к)
= ----- эканлигини ҳисобга олсак,
ац
|У ,1* ’1 + №
‘ >| + - • • +
1 ^ )1 = 1
( к — 1,
2 , • • •)
эканлиги ва у (*> ларнинр барчаси чегараланганлиги келиб чиқади.
Шунинг учун ҳам шундай индекслар кетма-кетлигини танлаш мум-
кинки, чекли лимитлар
\\т у\к)
= у , ( / =
1
,
2
, . . . ,
п)
к -ю о
мавжуд бўлади ва [у,| +
[у2|
+ . . . - +
|у„|
==
1
бўлганлиги учун
лимит вектор
у = ( У
1
.
у», —
,
У п У
нолдан фарқлидир.
Иккинчи томондан ||д;(А>[ [ < Ж ва фаразга кўра
а к
-----
>
к->
оо
лигини ҳисобга олиб,
11
у
11==11
ў
(*) + + - > ’" ) ) |1 < | | > ,А)[[ + | |у — Ў (/' )| | =
+ ||
7
- ў (+ |
(к =
1
,
2
, . . .)
|Д (,°
ооэкан-
I
т
тенгсизликдан ||у|| = 0, яъни у = 0 ни ҳосил қиламиз. Бу қарама-
қаршилик
а к ^ М (к = 1, 2,
эканлигини, яъни
вектор-
лар
координаталарининг барчаси чегараланганлигини кўрсатади.
Бундан эса шундай индекслар кетма-кетлигини танлаш мумкинлигч
ва бу индекслар учун | г = Нтл:(*)
(1
=
1
,
2
, . . . , « ) чекли ли-
к -> о о
митларнинг мавжудлиги келиб чиқади. Лкмитдаги ^ = (1,,^ , . . . ,
£„) векторнинг
х
= ( х , ,
х 2, . . . , х„)
вектор билан
устма-уст
тушишини кўрсатамиз.
Ҳақиқатан ҳам, теорема шартига кўра ||х — л (4)| | ----- ►
0
ва те-
к-*-
оо
ореманинг зарурий қисмидан
||1
— л+>|| ->-
0
зканлиги кўричиб, бар-
ча
к
=
1
,
2
, . . . лар учун
Цх — Ц| = ||(лс —
х (к))
+
( х ^
— |)|[ <
\\х
— лШЦ +
\\х<к)
— Ё|[
тенгсизликлар бажарилади. Демак, |]х — 1|| = 0, яъни
\ = х.
Шу
билан теорема исбот бўлди.
"
121
www.ziyouz.com kutubxonasi
Бу теоремадан норманинг узлуксизлиги келиб чиқади. Худди
шунга ўхшаш
матрицалар учун ҳам
А (к)
-----
у
А
бўлиши учун
к-+о
о
(|Л — Л<*)||- > 0 нинг бажарилиши зарур ва кифоялилигини кўрса-
тиш
мумкин. Бунинг
ёрдамида матрицалар кетма-кетлигининг
яқинлашишини бошқача таърифлаш мумкин.
Энди (7.7) тенгсизликдан қуйидаги келиб чиқади: агар
Матрицали геометрик прогрессиянинг яқинлашиши. Биз-
га анализдан маълумки,
1
+ д: + х
2
+ . . . +
х ь
+ . . . сонли гео-
метрик прогрессиянинг яқинлашувчи бўлиши учун
х к
— >-0
бўли-
ши зарур ва кифоя бўлиб, шу билан бирга унинг йиғиндиси
(1
—
— л
) - 1
га тенгдир.
Энди бу тасдиқларнинг қуйидаги
матрицали геометрик прогрессия учун ҳам ўринли эканлигини кўр
сатамиз. Бунинг у чу н аввал қуйидаги бир неча ёрдамчи тасдиқ'
ларни кўриб чиқайлик.
.
1-л ем м а. Ушбу
ўринли бўлиши учун,
А
матрицанинг барча хос сонларининг мо-
дуллари бирдан кичик бўлиши зарур ва кифоядир.
И сбот. Исботни бошлашдан аввал алгебрадан айрим тушунча-
ларни эслатиб ўтамиз. Агар шундай махсусмас
В
матрица мавжуд
бўлиб,
тенглик ўринли бўлса, у ҳолда
матрица А матрацага ўх-
шаш
дейилади. Кўриниб турибдики, агар
Ах
матрица
А
га ўхшаш
бўлса, у ҳолда
А
ҳам
А х
га ўхшаш бўлади. Ўхшаш матрицалар
бир хил хос сонларга эга. Ҳақиқатан ҳам,
бе!
(АВ) —
бе!
А
с!е!
В,
сЗеШ ^+е! 5= = бе1
В~1В = * \
бўлганлиги учун:
бе!
(А, — \ Е ) =
с!е1 (7
? - 1
АВ - В г
1
А
В)
= сЗе!
(В~1 (А
—X
Е)В)
=
= сЗе!
В~1
сЗеЗ
(А — \ Е )
сЗе!
В
= сЗе!
(А
- X
Е),
яъни бу матрицалар бир хил характеристик детерминантларга эга.
Яна маълумки, ўхшаш алмаштмришлар ёрдамида, ихтиёрий
п -
тартибли
А
матрицани унинг
}Кордан формасидаги каноник
шаклига
келтириш мумкин:
А(Ь)^
А
бўлса, у ҳолда ЦА<*>Ц££ ЦАЦ.
А + А + . А
2
+ . . . + Л А+ . . .
(7.15)
А г
=
В~1 АВ
1
=
В~
1
АВ.
(7.16)
122
www.ziyouz.com kutubxonasi
Бу ерда
/ =
1
/ т
1
(Ч)- /«,(>•>)............ / « Д
)1
квазидиагонал матрицадир ва
г
бир томондан
1 0 . . . 0 '
ЛЛ>) =
0
X
1 . . . 0
0 0 0 . . . X
Жордан катакларининг сонини
билдирса, иқкинчи томондан у
А
матрицанинг чизиқли эркли хос векторларининг сонидир, шу би-
лан бирга
тх
+
т2
+ . . . +
тг
==
п
бўлиб,
1т{
(АД нинг тарти-
бидир. (7.16) дан қуйидагиларни ёза оламиз:
А = В 1 В - \
А к
=
В1В~1В1В
~ 1
. . .
В1В
-» =
В1кВ ~ \
Демак,
Ак
—»-0 бўлиши учун
1к
—>-0 бўлиши зарур ва етарли-
к-+ оо
к-+
оо
дир. (7.17) дан кўрамизки,
1к = т
%^
.............
^тг^г)].
Шунинг учун ҳам
Ак
—
бўлиши учун барча г = 1, 2, . . . , г
оо
ларда
1к
т
(Хг) нинг ноль матрицага интилиши зарур ва етарли-
Дир.
Матрицаларни кўпайтириш қоидасига кўра:
/ 2
(Я,) =
ГЛ 1 0
. ,
<п
~Хг
1 0 . .. 0-1
0
1
• •
0
0
К
1
. . 0
0 0 0 .
. ,
к
_0 0 0 . ■■ VI
ГЛ
2Х
0
, ,
°1
---
0
Ч
2Х
1
1
• •
0
0
6
0 0
Математик индукция ёрдамида
к > тг
бўлганда қуйидагини ҳосил
қиламиз:
Р ?
С
1
Ч
- 1
С2 }к
—2
1
'
•
Ск1 ~1Ц~т1
+1
0
)к
С1 1к- 1
.
.
С'и1
~ 2
Хк~т, +2
1
!
л-<
1
1
* • *
1
1
1
0
0
о
.
.
х*
123
www.ziyouz.com kutubxonasi
ёки
'х<*>-
(X*) <т / - »
1!
2!
' • •
(тг
— 1)!
0
X*
(X')'
(X*)
~ 2>
1! ' ’
(т^
— 2)!
0
.
о
. 0 . . .
^
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
