Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

матрицанинг махсусмаслиги ва (£’—
— 
А)~1
нинг , мавжудлиги келиб чиқади.
Энди
( £ + А + Л
2
 + . . . +
А к) { Е - А ) = Е - А к+1
айниятни ўнг томондан 
{Е —
 А
)- 1
га кўпайтириб,
Е + А
+ Д 2 + . . . +
А к
 =
(Е
 - Л
)- 1
-
А к+ \ Е
-
А)~'
ни ҳосил қиламиз. Бу ерда 
А
к+1— >-0 бўлганлиги учун
к-*о
о
£ + Л + Л 2 + . . . 
+ А к+
. . . = ( £ - А
)- 1
келиб чиқади. Шу билан теорема исбот бўлди.
1
- леммани ҳисобга олсак, бу яқинлашиш белгисини қуйидаги-
ча таърифлаш мумкин. 
,
4 -
теорем а. (7.15) қатор яқинлашиши учун Л матрицанинг
барча 
хос 
сонлари модуллари 
бўйича бирдан кичик бўлиши
зарур ва етарлидир.
2
- леммадан фойдаланиб, яқинлашишнинг етарли шартини бериш
мумкин. Бу шарт текширишларда анча қулайдир.
5 -
теор ем а. Агар Л матрицанинг бирор нормаси бирдан кичик
бўлса, у ҳолда (7.15) матрицали прогрессия яқинлашади. Қуйида-
ги теорема (7.15) 
қаторнинг яқинлашиш тезлигини аниқлайди.
6
- теор ем а. Агар ||Л ||< 1 бўлса, у ҳолда
' 
плнА+1
||(+ _ Л
)- 1
-
( Е + А
+ Л
2
 + . - . - . +
А
к)|| +
И сбот. | | Л | | < 1 шарт бажарилганда (7.15) қатор 
(Е —
 Л
)- 1
мат-
. рицага яқинлашади, шунинг учун ҳам
(,Е —
 Л
)- 1
 — ( £ + Л + Л
2
 + . . . + Л А+ . . . ) = Л
6+ 1
 + Л&+2+ . . .
125
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ва
II (£■ _ Л )-1 -
( Е + А
+
+ • • . 
А к)
 ||^ !| Л*+М| + [И*+2|| + . . . <
’ <1ИГ1 + ИР+2+ ... 
• 
,
Демак, теорема исботланди.
8-§. ИТЕРАЦИОН МЕТОДЛАР
Энди итерадион методларни баён қилишга ўтамиз. Бобнинг
бошида айтиб ўтилганидек, бу ерда аниқ ечим чексиз кетма-
кетликларнинг лимити сифатида топилади.
Ҳозирги вақтда ҳар хил прииципларга асосланган ҳолда
ж уда кўп итерацион методлар яратилган. Умуман, бу метод-
ларнинг ўзига хос томонларидан яна бири шундан иборатки,
улар ўз хатосини ўзи тузатиб боради. Агар аниқ методлар би-
лан ишлаётганда бирор қадамда хатога йўл қўйилса, бу хато
охирги натижага ҳам таъсир қилади. Яқинлашувчи итерацион
жараённинг бирор қадамида йўл қўйилган хато эса фақатбир
неча итерация қадамини ортиқча бажаришгагина олиб келади
холос. Бирор қадамда йўл қўйилган хато кейинги қадамларда
тузатиб борилади. Методларнинг ҳисоблаш схемалари содда
бўлиб, уларни ЭҲМларда реализацня қилиш қулайдир. Лекин
ҳар бир итерацион методнинг қўллаииш соҳаси чегараланган-
дир. Чунки итерация жараёни берилган система учун узоқла-
шиши ёки, шунингдек, секин яқинлашиши мумкинки, амалда
ечимни қониқарли аниқликда топиб бўлмайди.
Шунинг учун ҳам, итерацион мстодларда фақат яқинла-