|
Ь*\п х а
=
Ь
[,* п + 1
(2.2)
ни ҳосил қиламиз, б у ерда
82
www.ziyouz.com kutubxonasi
(2.2) тенгламадан фойдаланиб, (2.1) системанинг қолган тенглама-
ларида
х х
ни йўқотиш мумкин. Бунинг учун (2.2) тенгламани кег-
ма-кет а 21, а 31, . . . ларга кўпайтириб, мос равишда системанинг
иккинчи, учинчи ва ҳ. к. тенгламаларидан айирамиз.
Натижада»
қуйидаги система ҳосил бўлади:
Х2
+ • • • + #
2
п х п
—
0
-
2
,
Чп} Х2
-ф" • • • "1“
а(„п Хп
=
С^ги п+\
>
бу ерда
коэффициентлар
а}}}
=
а и
—
а п Ь\)] (I,
у' > 2)
(2.3)
формула ёрдамида ҳисобланади. Энди (2.3) система устида ҳам
шунга ўхшаш алмаштиришлар бажарамиз.
Бунинг учун (2.3) системадаги биринчи тенгламанинг барча
козффициентларини етакчи элемент
а $
га бўлиб,
х
2
>
Ь
-23
Х я
> . . .
+
Ь;п х п = Ь
2
,\-\-\
(2-4)
ни ҳосил қиламиз, бу ерда
Ь
(?)
й(1)
> )
“ 22
( у > 3 ) .
(2.4)
тенглама ёрдамида (2.3) системанинг кейинги тенгламала-
рида юқоридагидек
х 2
ни йўқотиб,
<42)
х 3
+
I > 2>г _ , 7 (2>
~г
а3„ х п
— а 3, я+1
а„ з х 3
+
4 - а <2)
ч
(+ППх„ = а
(
2
)
«. „+1
системага келамиз, бу ерда
а}Р
= а 1у ) —
а
(12
Ьу\ (I
, у' > 3).
Номаълумларни йўқотиш жараёнини давом эттириб ва бу жа-
раённи
т
-қадамгача бажариш мумкин деб фараз қилиб,
т-
қа-
дамда қуйидаги системага эга бўламиз:
V а - А (яг)
V
_1_ л(т> г —
Х т
От , т
+ 1
Л
о т + 1
Утп Х п
—
п + 1 ,
„ Ш )
^
I
I
„ ( т )
у — п ( т)
, ,
а т +
1.
т+1
Л / я + 1 “Г
• • ■ " Г а т + 1 ,
п Х п
—
а
т , „ +
1
,
„(т )
у
!
.
а„,
т+1 л т + 1 -(-
+ аТп) х,
п (т)
■
п
+1 »
(2.5)
бу ерда
7(т.)
4 га) =
а \ Г и ~ а \ Г 1) Ь\$ (I, } > т +
1).
Фараз қилайлик,
т
мумкин бўлган охирги қадамнинг номери бўл-
син. Икки ҳол бўлиши мумкин:
т = п
ёки
т
<
п.
Аг...р
т
=
п
83
www.ziyouz.com kutubxonasi
■бўлса, у вақтда биз учбурчак матрицали ва (2.1) системага экви-
валент бўлган қуйидаги
Х 1
+
Ьп х 2-\-
^{р
х 3
4- . . . +
Ьи х п—
п
+1
,
Х2~\~ Ьж Х3-{-
. . . -)-
ь4п Хп — Ь^п+1
,
V
__
иМ
х п
—
Оп,
л+1
(
2
.
6
)
системага эга бўламиз. Охирги системадан кетма-кет
х п, х п_ и
. . . ,
х х
ларни топиш мумкин:
х п
°п,
я+1 ,
* я - 1
и ( п - \ )
1
Оп-\,
п+1
и(п-1)
„
0/1
— 1, п Хп
,
(2.7)
Х\
—
Ь\,
л+1
Ь+1 Х% ■
. . .
Ь\п Хп ,
2 .6 ) учбурчак системанинг коэффициентларини топиш Гаусс ме-
тодининг
тўғри юриши,
(2.7) системадан ечимни топиш жараёни
тескари юриши
дейилади.
Фараз қилайлик,
т<^п
бўлсин
ва системанинг
т
-ва ун-
дан кейинги тенгламалари (2.5) кўринишга келтирилган бўлсин.
Биз
т-
қадамни бажарилиши мумкин бўлган қадам деб ҳисобла-
ган эдик, бу шуни билдирадики (2.5) системанинг иккинчи тенг-
ламасидан бошлаб етакчи элементни ажратиш мумкин эмас, барча
«1/г) (/, у = /т е+ 1, . . . ,
п)
лар нолга тенг ва (2.5) система қуйи-
даги кўринишга эга
Лт)
Хт
+
Ь(т,)т+\ х т+\
+ • . . +
Ь(™
п х п= Ь(т; п+\
,
0 =
Ят+
1, л+1 ,
л __
п (т)
V — ап,
л
+1
.
Агар бунда барча озод ҳадлар
а\т
)п+\
(/ = т + 1, . . . ;
п)
Нолга
тенг бўлса, у ҳолда биз фақат ягона биринчи тенгламага эга
бўламиз.
Барча қадамдаги биринчи тенгламаларни бирлаштириб, қуйидаги
системани ҳосил қиламиз:
■ * 1 +
Ь(\2
л :2+ М з ^ Я з + . . . +
Ь(\п х п— Ь(\,
л+1 ,
.
х 2
+
Ь $ Х3
+ . . . +
Ь(2п Хп—
^ + л + 1 ,
,
•
Хт
+
Ь(т} т+\ х т+\
+ " . . . +
Ь(тп х „— Ь(т}п+\ .
'
Бу системадан бизд:,,
х 2
.............
х т
номаълумларни
х т+и
. . . ,
■ха
номаълумлар ва озод ҳадлар ёрдамида ифодалаб олишимиз
мумкин. Бу ҳолда (2.1) система чексиз кўп ечимга эга бўлади.
Агар
т с п
бўлиб, ҳеч бўлмаганда бирорта
а (тт+\ Ф
0
{т
+ 1 <
< / < я ) бўлса, у ҳолда (2.1) система ечимга эга бўлмайди.
•84
www.ziyouz.com kutubxonasi
Қўлда ҳисоблаётганда хатога йўл қўймаслик учун, ҳисоблаш
жараёнини контрол қилиш маъқулдир. Бунинг уч ун биз (2.1)
матрица сатрларидаги элементлар ва озод ҳаднинг йиғиндисидан
тузилган контрол
+ .« + 2 = 2 ° +
(/ = Т 7л)
(2.8)
/-1
йиғиндидан фойдаланамиз.
Агар а />л+2 .ларни (2.1) системанинг озод ҳадлари деб қабул
қилсак, у ҳолда алмаштирилган
,
П
2
а И*} ==ак п
+ 2
(I
= 1. л)
(2-9)
системанинг ечими л:Д2.1) системанинг ечими
X)
орқали қуйида-
гича ифодаланади:
Х) = Х)-\-\
(у = 1
, п).
(2.10)
Ҳақиқатан ҳам, (2.10) ни (2.9) системага қўйсак, (2.1) система
ва (2.8) формулага кўра
п
п
л + 1
2 % * / + 2
а ц = ^ аи = аип+г
(* = ТГя)
1=1
/=1
/=1
айниятга эга бўламиз.
Агар сатр элементлар устида бажарилган амалларни ҳар бир
сатрдаги контрол йиғинди устида ҳам бажарсак ва ҳисоблашлар
хатосиз бажарилган бўлса, у ҳолда контрол йиғиндилардан тузил-
ган устуннинг ҳар бир элементи мос равишда алмаштирилган сатр-
лар элементларининг йиғиндисига тенг бўлади. Бу ҳол эса тўғри
юришни контрол қилиш учун хизмат қилади. Тескари юришда эса,
контрол
х )
ларни топиш билан бажарилади.
Тенгламалар системаси қўлда ечилганда ҳисоблашларни 9- жад-
валда кўрсатилган Гаусснинг компакт схемаси бўйича олиб бориш
маъқулдир. Соддалик учун жадвалда тўртта номаълумли тўрттг
тенгламалар системасини ечиш схемаси келтирилган.
.
Гаусс методи билан
п
та номаълумли чизиқли алгебраик тенг-
ламалар системасини ечиш учун бажариладиган арифметик амал-
ларнинг миқдори қуйидагидан иборат:
(п3
+
Зп2
—
п)
та кўпай-
тириш ва бўлиш,
(2п3
+ 3
п2
—
Бп)
та қўшиш.
М и с о л. Гаусс методи билан қуйидаги система ечилсин:
, 2+| + 4,2
х%
-)- 1,6 .лтз —
ЗХд =
3,2
I — 0,4
х х
+ Зх3 — 2,4
х $ =
— 1,6
| 1,6
Х\
— 0,8
х%
+
х%
—
х±
~ — 1
1
х г
— 2
л
:2 — лт3 + 1,5 х4 = 0
Системани ечиш жараёни 10- жадвалда келтирилган.
(
2
-
11
/
8&
www.ziyouz.com kutubxonasi
9-ж а д * а л
х
в
оэод
схема
х*
ҳадлар
қисмларн
« п
«13
«13
а и
«15
«19
« 2 1
«23
«23
«21
«25
«29
Л
«31
«32
«33
«31
«35
«33
« а
«12
«13
«11
«15
«19
1
°1 2
' »й>
6 (1 >
«14
а
(1)
°15
6 (1)
“ 16
й (1)
“ 22
«23* ~
" д (1)
"2 4
а (1)
"2 5
а (1)
“ 32
л (1)
“ 33
/7(1)
"34
Л (1)
"3 5
А \
д ( 1)
“ 42
л (1)
" 4 3
Д (1)
"4 4
д (1)
" 4 6
1
Л<2)
“ 23
/,(2)
“ 24
4!>
а
( 2 )
“ 26
Л (2)
"3 3
/г<2)
"3 4
Л 2 )
"3 5
а {2)
"Зб
А3
л (2)
"43
й (2)
“ 44
4§>
«1!>
1
*Ц>
«й1
а (3)
"45
й
(3)
«46
А з
1
б (4)
° 4 5
й (4)
“ 46
1
■«1
* 1
1
* 3
£ з
в
1
* 2
*2
1
Х \
Х \
10- жадвал
х$
Х
а
озод
£
схема
Х\
*3
ҳадлар
қисмларв
2
4 , 2
1 ,6
— 3
3 , 2
8
— 0 , 4
3
— 2 , 4
1
0
—
1 ,6
— 1 ,4
А
1 ,6
—
0 , 8
— 1
—
1
—
0 , 2
1
—
2
— 1
1 ,5
0
- 0 , 5
1
2 ,1
0 , 8
—
1 ,5
1 ,6
4
8 6
www.ziyouz.com kutubxonasi
давоми
3,84
4,16
4,1
— 2,08
0,28
1,8
.
— 0,60
— 1,40
_з
— 0,96
3,56
-
1,6
0,2
6,6
4,5
А
1
—0,54166 —0,15625
— 0,25
0,05208
—2,53331
—4,02081
0,75
2,35937
— 4,6
— 2,62500
—6,38331
—4,28644
Л2
1
—0,29606
1,81581
2,51198
1,16897
4,67603
5,84500
Аг
1
1
1
1
4,00013
3,00009
2,00005
1,00002
5,00013
4,00009
3,00005
2,00002
в
Шундай қилиб, қуйидаги
х х
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
