Ўзсср олий ва ўрта махсус таълим министрлиги

 
= 1,00002; 
х 2
 
= 2,00005; 
х 3 
=
3,00009; 
х± 
=
4,00013 тақрибий ечимга 
эга бўлдик.
Системанинг аниқ ечими 
х г
 = 1, 
х 3 =
 
2, 
,*з = 3, 
х 4 = 4
 
эканлигига бе- 
восита ишонч ҳосил қилиш мумкин.
Бош элементлар методи. Гаусс методида етакчи элементлар
доим нолдан фарқли бўлавермайди. Еки улар нолга яқин сон-
лар бўлиши мумкин: бундай сонларга бўлганда катта абсолю т
хатога эга бўлган сонлар ҳосил бўлади. Бунинг натижасида
тақрибий ечим аниқ ечимдан сезиларли дар аж ада четлашиб
кетади.
Ҳисоблаш хатосининг бундай ҳалокатли таъсиридан қутулиш
учун Гаусс методи бош элементни танлаш йўли билан қўлла-
нилади. Бунинг Гаусс методининг компакт схемасидан фарқи
қуйидагидан иборат. Фараз қилайлик, номаълумларни йўқотиш
ж араёнида қуйидаги системага эга бўлган бўлайлик:
(х,
 +
Ь^х2
 +
Ь^ х я+ . . . + Ь\ухп =
 й<|>+1,
Хт
" Ь
^ <
~т,т+1Х т
-И + • • • 4 "
^тпХп 
^т]п
+ 1 »
• 
п ( т ) 
х
Л - 
_1_ 
п ( т ) 
х
=
п ( т ) 
■
и т+1,т+1-й1
+ 1 ^
' и'т+
1
.п'л'п
^ + 1 , ^ + 1 *
, 
< тХ+1Хт 
+ 1 
+ . . . + а
Энди [ 
к
 | = т а х |а<ЗД 1 тенгликни қаноатлантирадиган 
к
но-
мерни топиб, ўзгарувчиларни қайта 
белгилаймиз: 
х т+\
=
х к
ва
х к = х
т + 1
сўнгра 
(т
 + 2) тенгламадан бошлаб, барчасидан 
х т+\
номаълумни йўқотамиз. Бундай қайта белгилашлар йўқотиш тар»
тибини ўзгартиришга олиб келади ва кўп ҳолларда ҳисоблаш ха-
тосини камайтиришга хизмат қилади.
...Ч 
' 
8?
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Оптимал .йўқотиш м етоди . 
Бу методнинг дастлабки қадам-
.лари Гаусс методига ўхшашдир. Етакчи элемент 
а п фО
деб фараз
қилиб, (2 .1 ) системанинг биринчи тенгламасини
Х\
+ ^а)*» + • • • +
ЬМха
=
Ь[Ъ+1
 
(2.2)
кўринишга келтирамиз. Сўнгра (2.1) системанинг фақат иккинчи
тенгламасидан 
х х
ни йўқотамиз:
+ • • • +
аМх„
 = а<|>+1-
Энди 
а(^ Ф
0 деб фараз қилиб, бу тенгламани (2.4) кўринишга
келтирамиз:
.х> + Ь $ х 3+ . . . + Ь % х п = Ь^п+1
Бу тенглама ёрдамида (2.2) тенгламадан 
х^
ни йўқотамиз. Натижа-
Да
X,
+
с $ х 3
+ . . . +
с[ўхп = сЮ+и
*» + 4 2
3>х3 + • . • +
С ^ хп
= 4 2>+)
досил бўлади. Бу ерда
С[2)==Ь[))- Ь^ Ьп с$ = ь у
( / > 3 ).
Фараз қилайлик, аввалги 
к
та тенгламалар устида алмаштиришлар
бажариш натижасида (2.1) система қуйидаги тенг кучли система-
га келтирилган бўлсин:
Х 1 + С(й + 1 Х Ш
+
• • • +
С , 1
* Ч
=
^
+ 1 .
Х к + С{к \ + 1 Х к+1
+
с[к)х
к,п п
^ к,к+\.
а / г + 1 . 1 Х 1
+ • • • + ^+1,*+1Л/е+1 + . . . + Й*+ 1, 
п Х п
 =
а к + \
 ,„ + 1
(
2
.
12
)
а пХх х
+ . . . + 
а п,к+1Х1{+\
+ . . . + 
а ппХп
— 
а п,п+\.
Бу системанинг 
аввалги 
к
та 
тенгламасини 
мос 
равишда
<
1
ь+
1
,к
,а*+
1
,
2
, . . . , 
а<г+ 
1
,и
ларга кўпайтириб, натижаларни (й + 1 ),-
тенгламадан айирамиз ва ҳосил бўлган тенгламани 
х
к + 1
номаълум
олдидаги 
коэффициентга бўламиз. 
Натижада 
{к
+ 1)- тенглама
қуйидаги кўринишга эга бўлади:
^ + 1 + ^ 2 .
ик + 1 ,к + ‘2 к + 2
■у(к)
'к+\,п п
, с(!г)
/ е + 1 . п + 1
Энди бу тенглама ёрдамида (2.12) системанинг аввалги 
к
та тенг-
ламасидан 
х
к + 1
ни йўқотсак, у ҳолда яна (2.12) кўринишдаги
системага, фақат 
к
нинг 
{к
+ 1) га алмашган ҳолига, эга бўламиз.
Шу билан бирга, агар
к.
+1 
$ к
+1
'•(к)
- 1,г
г=1
88
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бўлса, қуйидаги формулаларга эга бўламиз:
ск+\.р
к
&к+1,р
 
2
ак+\гГС^к)
г
= 1 
Ғ
0 - к + \ , к + \
— 2
а к + \ , г С ^ 1  
г=> 1 
'
А + 1
к
*
/•(£+1) —- 
Мк)
£(к)
 
с(£+1)
с1р 
С1р 
с1,к+\ Ск+\,р
(/ = 1, 2, . . . , 
к\ р — к
 
2, 
к
 -}- 3, . . . , 
п
 -4-1).
Алмаштиришларнинг 
п-
 
қадами 
қам 
бажирилгандан сўнг
(2.1) системапинг ечими учун қуйидаги формулалар ҳосил бўлади:
Х 1
— с‘л>+1 
{I
— 1, 2, . . . , 
п).
Бу ерда ҳам ҳисоблаш жараёнини контрол қилиш Гаусс методи-
дагига ўхшашдир. Оптимал йўқотиш методида ҳам барча етакчи
элементлар нолдан фарқли бўлиши зарурдир. Агар бу факт олдин-
дан маълум бўлмаса, у ҳолда ҳисоблаш схемасини ўзгартириб,
бош элементларни сатр бўйича танлаш йўли билан номаълумларни
йўқотиш мақсадга мувофиқдир. Бунинг учун, агар 
{к-\-
1)-тенгла-
мада 
х и х 3,
. . .
х к
номаълумларни йўқотгандан кейин,
*
ак+\,к+\ —
 2 а*+1^^р+1) ( Р > ^ + 0
5=1
модули бўйича энг катта элемент бўлса, у ҳолда ўзгарувчиларни
қайтадан белгилаб: 
х к+\ = х р
ва 
х р = х к+\,
сўнгра оптимал йў-
қотиш қоидасига кўра номаълумларни йўқотишни давом эттириш
керак.
Оптимал йўқотиш методининг устунлиги шундан иборатки
п-тартибли системани ечиш учун зарур бўлган арифметик амал-
ларнинг сони Гаусс методидагидек бўлса ҳам, бу метод ЭҲМ
лар хотирасидан эффектив равишда фойдаланишга имкон бе-
ради, яъни системанинг тартибини икки марта орттириш мум-
кин.
(2.12) 
системадан кўриниб турибдики, оптимал йўқотишнинг
6-қадами бажарилгач, берилган системанинг охирги 
(п
—
к)
та
тенгламаси ўзгаришсиз қолади. Буни ҳисобга олган ҳолда хоти-
рага матрицанинг барча элементларини тўла киритмасдан, ҳар
бир қадамдан олдин 
биттадан 
сатрни 
киритамиз. У ҳолда
( £ + 1 ) -қадамни амалга ошириш учун хотиранинг
- 
/(£) =
к(п — к
 -+ 1) +
п
 +- 1
та ячейкаси етарли бўлади, булар
Г 
г {к)
 
с<*> 
1
6 1 , А + 1
•
•
•
•
•
•
(- 1 , л + 1
С
(к)
к,к
+ 1
* 1
с
(к)
*,л+и
89
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

матрицани ва 
(2.12) 
системадаги 
(& +1)-тенглам а қоэффи-
циентларини
' 
жойлаштириш учун 
хизмат қилади. Энди 
) ( к )
нинг максимумини топиб, л-тартибли системани ечиш учун
(П+
1
МП+Б) та яче^кага эга бўлган майдон етарли эканлиги-
га ишонч ҳосил қиламиз. М асалан, оператив хотираси 4095
ячейкадан иборат бўлган ЭҲМ да ташқи қурилмалардан фой-
даланм асдан 122-тартибли тенгламалар системасини ечиш ёки
шу тартибли ихтиёрий матрицанинг детерминантини ҳисоблаш
мумкин.
Мисол тариқасида
1
2+1 + 4,2+2 + 1 ,б+з — 3+4 = 3,2,
— 0,4+1 + 3+2 — 2,4+э ™ —-1,6, 
.
1,6+! — 0,8+2 + +3 — +4 = — 1,
+! — 2+2 — +3 + 1,5+4 = 0
системани оптимал йўқотиш методи билан ечайлик. Биринчи 
тенгламалан
+! + 2,1
+ 2
+ 0,8+з— 1,5+4 - 1,6 
(2.13)
ни ҳосил қиламизва буни —0,4 га кўпайтириб, системанинг иккинчи тенгла- 
масидан айирамиз: 
,
3,84+2 — 2,08+з — 
0 , 6 0 + 4
= —0,96.
Буни 3,84 га бўлиб, керакли тенгламани ҳосил қйламиз:
+2
— 0,54167+3 — 0,15625+4 = —0,2500. 
(2.14)
Энди (2.13) дан 
+ 2
ни йўқотсак,
+1
+ 1,93750+2—1,17182+4=2,12501. 
(2.15)
(2.15) ни 1,6 га ва (2.14) ни —0,8 га кўпайтириб, системанинг учинчи тенгла- 
масидан айирамиз ва ҳоеил бўлган тенгламани 
+ 3
олдидаги коэффциентга 
бўлсак,
+ з— 0,29611 +4 = 1,81556 
(2.16)
келиб чиқади.
Бу тенглама ёрдамида (2.14) ва (2.15) даи 
+ 3
ни йўқотсак,
/+, — 0,59811 
+4
= — 1,39322
(+2
— 0,31664 
+4
= 0,73343 
(2.17)
ҳосил бўлади.
Энди (2.16) — (2.17) тенгламалар ёрдамида системанинг тўртинчи тенгла- 
масидан 
х и
+3, 
+ 3
ни йўқотамиз: 1,11872+4 = 1,67564. Бундан ва (2.13) — 
(2.17) дан номаълумларни кетма-кет топамиз:
+4
= 4,00065; 
+ 3
= 3,00019; 
+ 2
= 1,99999; +! = 0,99922.
Детерминантни ҳисоблаш. Гаусс методини ҳам, оптимал
йўқотиш методини ҳам детерминантни ҳисоблаш учун қўллаш
мумкин. Қуйидаги
«и С Ь
• • • 
«1 п
А =
«21 «22 •
•
• «2л
«я! «й2 •
• 
• «ял
матрицанинг детерминантини топиш талаб қилинсин. Бунинг учун,
бир жинсли, чизиқли
Л3с = 0 
(2.18)
ео
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

системани ечишга Гаусс методини қўллаймиз. Натижада 
А
мат-
рица
1
Ь
(!)
и 12
Ь
<’)
и хъ
• 
• ОД
в =
0
1
Ь
<2)
и 2А
 
’
.. 
ь{2У
_о'
0* 
* о
!'.
.'..'Г
учбурчак матрицага глмаштирилади, (2.18) система зса унга экви-
валент бўлган 
_
_
Вх
= 0
системага ўтади. 
_
Агар диққат қилинса, 
Ё
матрицанинг элементлари 
А
матрица
ва кейинги ёрдамчи 
А и А 2,
. . . , 
,
матрицалардан қуйидаги