Њзбекистон республикаси олий ва њрта махсус

a

_ 21^x1
 a₂₂x₂
 ...  a_{2 j} x _j
 ...  a_2n x_n
 b₂

^..............................................................
(3.1)

^a x  a x  ...  a x  ...  a x  b

_ i1 1
i 2 2
ij j
in n i

^..............................................................

_a_m1x₁  a_m2 x₂  ...  a_mj x _j  ...  a_mn x_n  b_m
hamda shu o„zgaruvchilarning chiziqli funksiyasi
z  c₁ x₁  c₂ x₂  ...  c _j x _j  ...  c_n x_n  max
(min)
(3.2)

berilgan. (3.1) sistemadan shunday manfiy bo„lmagan yechimni topish kerakki, natijada (3.2) chiziqli funksiya eng katta (eng kichik) qiymatga ega bo„lsin. Bunday yechim optimal yechim deb ataladi.

(3.1) va (3.2) shartlarni quyidagi ko„rinishda ham yozish mumkin:



j1


^aij ^x j


 b_i ,
i  1, m

(3.3)

bo„ladi.



z  _c_j x _j  max
j1
(min)
(3.4)

Bu yerda, (3.3) cheklanishlar sistemasini tashkil etadi, (3.4) esa maqsad funksiyadir.
Chiziqli dasturlashga doir masalalar. Ishlab chiqarishni rejalashtirish masalasi. Faraz qilaylik, korxona n xil mahsulot ishlab chiqarish qobiliyatiga ega (sanoat korxonasi uchun turli xil detallar, qishloq xo„jaligi korxonasi uchun ekinlar, chorvachilikning turli xil mahsulotlari va hokazo), shu bilan birga, ushbu mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun korxonada m xildagi resurslar mavjud bo„lib (uskunalar vaqti, yer, ishchi kuchi, urug„lik, ozuqa, yoqilg„i va boshqalar), ularning zaxiralari ma‟lum:

b₁ , b₂ ,..., b_i ,..., b_m .
Ishlab chiqariladigan har bir turdagi mahsulotdan olinadigan iqtisodiy foyda ham ma‟lum bo„lib, ular

c₁, c₂ ,...,
c _j ,...,
c_n .

Har bir turdagi mahsulotni ishlab chiqarish uchun zarur bo„lgan resurslarning sarflanish normalari ham ma‟lum:

a₁₁,
a₁₂ ,...,
a_ij ,..., b_mn .

Bu yerda
^a11

• 
  birinchi turdagi mahsulotning bir birligini ishlab chiqarish
  

uchun birinchi turdagi resursdan qancha kerakligini ko„rsatadi. Umumiy holda
^aij ^–

j  j 1,
2,..., n
turdagi mahsulotdan bir birlik ishlab chiqarish uchun
i i 1,
2,..., m

turdagi resursdan qancha kerakligini ko„rsatadi.

Bu ifodalar texnologik koeffitsiyentlar deb atalib, ularning soni m n ga teng. Ishlab chiqarishning shunday x rejasini tuzish talab qilinadiki (ya‟ni,

mahsulotning har biridan
x₁ ,
x₂ ,...,
x _j ,..., x_n
qanchadan ishlab chiqarishni topish),

natijada eng ko„p umumiy foyda ta‟minlansin.

Avvalo masalaning maqsad funksiyasini tuzish kerak. Buning uchun foydani
izlanayotgan miqdorlar orqali ifodalaymiz. Birinchi turdagi bir birlik mahsulot c₁

birlik foyda beradi, reja bo„yicha birinchi turdagi mahsulotdan x₁ birlikda ishlab

chiqarish lozim, natijada
c₁  x₁
miqdorda foyda olinadi. Хuddi shuningdek, ikkinchi

turdagi mahsulot uchun
c₂  x₂
va hokazolarni yozish mumkin. Umumiy foyda

z  c₁ x₁  c₂ x₂  ...  c _j x _j  ...  c_n x_n  _c_j x _j  max
j1

ko„rinishda bo„lib, bu masalaning maqsad funksiyasini ifodalaydi.

Endi cheklanishlar tizimini, ya‟ni izlanayotgan x rejaning tashkil etuvchilari
bo„lgan x _j larni qanoatlantiradigan shartlarni yozamiz. Buning uchun mahsulotlarni

ishlab chiqarish uchun sarflanadigan har bir resursning miqdorini topamiz.

Birinchi turdagi mahsulotdan x₁ birlik miqdorda ishlab chiqarish uchun

birinchi turdagi resursdan
^a11^x1
birlik sarflanadi; ikkinchi turdagi mahsulotdan x₂

birlik miqdorda ishlab chiqarish uchun birinchi turdagi resursdan sarflanadi va hokazo.
Birinchi resursning umumiy sarfi
a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ...  a_{1 j} x _j  ...  a_1n x_n
^a12 ^x2
birlik

bo„ladi (bu yerda a ning birinchi indeksi o„zgarishsiz qolib, ikkinchi indeksi o„zgarib boradi).

Lekin mahsulotlar ishlab chiqarishga ketadigan umumiy sarflar, mavjud resurs zaxirasidan ortib ketmasligi lozim. Shuning uchun yuqoridagi ifoda birinchi resurs b₁ dan kichik yoki hech bo„lmaganda unga teng bo„lishi kerak, ya‟ni
a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ...  a_{1 j} x _j  ...  a_1n x_n  b₁ ,
shuningdek, qolgan resurslar uchun ham chegaralovchi shartlarni quyidagicha yozish mumkin:
a₂₁x₁  a₂₂ x₂  ...  a_{2 j} x _j  ...  a_2n x_n  b₂
..............................................................
a_i1 x₁  a_{i 2} x₂  ...  a_ij x _j  ...  a_in x_n  b_i .
..............................................................
a_m1 x₁  a_m2 x₂  ...  a_mj x _j  ...  a_mn x_n  b_m

Rejaning aniq bo„lishi uchun yuqorida keltirilgan shartlar bajarilishi lozim. Ammo izlanayotgan miqdorlarning iqtisodiy ma‟nosi ularga yana qo„shimcha shartni

yuklaydi, ya‟ni ular manfiy sonlar bo„lishi mumkin emas. Shu bilan bir vaqtda x _j

o„zgaruvchilardan birortasi nolga teng bo„lib qolishi mumkin. Bu esa mahsulotning mazkur turini ishlab chiqarish iqtisodiy jihatdan foydali emasligini, ya‟ni rentabel emasligini ko„rsatadi. Shunday qilib, hosil qilingan cheklanishlarga izlanayotgan o„zgaruvchilarning noldan kichik emaslik (nomanfiylik sharti) shartini qo„shib qo„yish lozim bo„ladi, ya‟ni

x₁  0,
x₂  0,...,
x _j  0,...,
x_n  0 .

Bu ikki guruh cheklanishlar birgalikda masalaning cheklanishlar tizimini (chegaraviy shartlar tizimini) tashkil etadi. Ularni qisqa qilib quyidagicha yozish mumkin:

_a_ij x _j  b_i ,
j1
i  1,
2,...,
m,

x _j  0,
 j 1,


2,...,
n.

Endi masalani quyidagicha ifodalash mumkin: x rejaning shunday komponentlari topilsinki, ular barcha tengsizliklarni qanoatlantirib, z funksionalga eng katta qiymat bersin. Cheklanishlar sistemasi hamda maqsad funksiya noma‟lumlarga nisbatan chiziqli bo„lgani uchun chiziqli dasturlash masalasi hosil bo„ldi, deya olamiz.

Ozuqa tarkibi masalasi. Ozuqa tarkibi masalasida, qishloq xo„jalik chorvachilik korxonalarida n xil ozuqa bo„lib, ulardan har biri m turdagi to„yimli

moddaga ega. Ma‟lumki, birinchi ozuqaning bir birligi
^a11
birinchi to„yimli

moddaga,
^a21
ikkinchi to„yimli moddaga va hokazoga ega; ikkinchi ozuqaning bir

birligi
^a12
birinchi moddaga,
^a22
ikkinchi moddaga va hokazo. Umumiy holda j -

tartib raqamli bir birlik ozuqada i -tartib raqamli
^aij
birlik modda bor (demak,

koeffitsiyentning birinchi indeksi to„yimli moddaning tartib raqami, ikkinchisi esa ozuqaning tartib raqamini bildiradi). Keltirilgan texnologik koeffitsiyentlar kimyoviy

yoki boshqa tahlillar natijasida aniqlanadi.

Endi b_i
i 1,
2,..., m
orqali har bir to„yimli moddaning miqdorini belgilaymiz. b_i

chorva mollarining olishi lozim bo„lgan minimal miqdordagi i -tartib raqamli to„yimli

modda. j -tartib raqamli ozuqaning narxini c _j
miqdorlar ma‟lum hisoblanadi.
 j 1,
2,..., n
orqali belgilaymiz. c _j

Ozuqa tarkibini tuzish masalasining maqsadi shuki, shunday x tarkibni (chorva mollarini oziqlantirish rejasi) topish kerakki, u barcha chegaraviy shartlarni to„liq qanoatlantirsin va funksional eng kichik qiymatga ega bo„lsin.
Masalaning matematik modeli, ya‟ni maqsad funksiya z , izlanayotgan

n

miqdorlar – x _j lar orqali quyidagi ko„rinishda bo„ladi:


z  c₁ x₁  c₂ x₂  ...  c _j x _j  ...  c_n x_n  _c_j x _j  min
j1

Cheklanishlar tizimi esa,

bo„lsin va

a₁₁x₁  a₁₂ x₂  ...  a_{1 j} x _j  ...  a_1n x_n  b₂ a₂₁x₁  a₂₂ x₂  ...  a_{2 j} x _j  ...  a_2n x_n  b₂
..............................................................
a_i1 x₁  a_{i 2} x₂  ...  a_ij x _j  ...  a_in x_n  b_i
..............................................................
a_m1 x₁  a_m2 x₂  ...  a_mj x _j  ...  a_mn x_n  b_m

x₁  0,
x₂  0,...,
x _j  0,...,
x_n  0 ,

ya‟ni, noma‟lum x _j larning shunday qiymatlarini topish kerakki, ular barcha

cheklanishlar tizimini qanoatlantirib, z funksionalga eng kichik qiymat bersin.

2.