Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги тошкент давлат техника университети

6.2. Тасодифий хатоликнинг нормал қонун бўйича 
тақсимланиши ва уни эҳтимолий баҳоланиши. 
Ўлчаш натижаларини қайта ишлаш усулларини ўрганишдан 
мақсад, ўлчаш натижасини ўлчанадиган катталикни асли (чинакам) 
қийматига қанчалик яқин эканлигини аниқлаш, ёки унинг ҳақиқий 
қийматини топиш, ўлчашда ҳосил бўладиган хатоликнинг ўзгариш 
характерини аниқлаш ва ўлчаш аниқлигини баҳолашдир. 
Бир нарсага алоҳида аҳамият беришга тўғри келади. 
Юқорида 
олдинги 
мавзуларда 
айтилганидек, 
мунтазам 
хатоликларни чуқур таҳлили асосида аниқлашимиз ва махсус 
чораларни кўриб, сўнгра уларни бартараф этишимиз, ёки 
камайтиришимиз мумкин экан. Тасодифий хатоликларда эса бу 
жумла ўринли эмас. Бу турдаги хатоликларни фақат баҳолашимиз 
мумкин. 
Ҳар кандай физикавий катталик ўлчанганда, унинг 
тахминий қиймати аниқланади. Бу қийматни эса тасодифий 

---

69 
катталик деб ҳисоблаш керак ва у икки ташкил этувчидан иборат 
бўлади. 
Биринчи 
ташкил 
этувчиси 
такрор 
ўлчашларда 
ўзгармайдиган ёки маълум қонун бўйича ўзгарадиган (кўпаядиган 
ёки камаювчи) бўлиб, уни мунтазам (систематик) хатолик 
дейилади. Бу ташкил этувчини - математик кутилиш деб юритиш 
мумкин. Иккинчи ташкил этувчи эса, тасодифий хатолик бўлади. 
Агар ўлчашда ҳосил бўладиган хатолик нормал қонун 
бўйича (Гаусс қонуни) тақсимланади десак, у ҳолда уни математик 
тарзда қуйидагича ёзиш мумкин: 
2
2
2
e
2
1
)
(
y







, 
бу ерда y(

) - тасодифий хатоликнинг ўзгариш эҳтимоллиги; 
- ўртача квадратик хатолик; 

(

) - тузатма ёки 

=
X
-Х
i
бўлиб, Х
i
- 
алоҳида ўлчашлар натижаси, 
X
- эса ўлчанадиган катталикнинг 
эҳтимолий қиймати, ёки унинг ўртача арифметик қийматидир. 
Ўлчанадиган катталикнинг ўртача арифметик қиймати 
қуйидагича топилади: 
х
х
х
х
х
n
n


  
1
2
3
...
, 
бу ерда x
1
, x
2
, ... x
n
- алоҳида ўлчашлар натижаси; n- 
ўлчашлар сони. 
Ўртача квадратик хатолик (ўзгариш) қуйидагича топилади: 
1
n
)
x
x
(
n
1
i
2
i






Қуйида 
келтирилган 
чизмада 
ўртача 
квадратик 
хатоликларнинг ҳар хил қийматларида хатоликнинг ўзгариш эгри 
чизиқлари кўрсатилган. Графикдан кўриниб турибдики, ўртача 
квадратик хатолик қанчалик кичик бўлса, хатоликнинг кичик 
қийматлари шунчалик кўп учрайди, демак, ўлчаш шунчалик юқори 
аниқликда олиб борилган ҳисобланади. Ўлчаш аниқлигини 
баҳолаш, эҳтимоллик назариясининг қонун ва қоидаларига 
70 
асосланиб баҳоланади; яъни ишончли интервал ва уни 
характерловчи ишончли эҳтимоллик қабул қилинади. 
Одатда, ишончли интервал ҳам, ишончли эҳтимоллик ҳам 
конкрет ўлчашлар шароитига қараб танланади.
Масалан: тасодифий хатоликнинг нормал қонуни бўйича 
тақсимланишида (ўзгаришида) ишончли интервал +3
-3 гача, 
ишончли эҳтимоллик эса 0,9973 қабул қилиниши мумкин. Бу деган 
сўз 370 тасодифий хатоликдан биттаси ўзининг абсолют қиймати 
бўйича 3
 дан катта бўлади ва уни қўпол хатолик деб ҳисоблаб, 
ўлчаш натижаларини қайта ишлашда ҳисобга олинмайди. 
Ўлчаш натижасининг аниқлигини баҳолашда эҳтимолий 
хатоликдан фойдаланилади. Эҳтимолий хатолик эса, шундай 
хатоликки, унга нисбатан, қандайдир катталикни қайта ўлчаганда 
тасодифий хатоликнинг бир қисми абсолют қиймати бўйича 
эҳтимолий хатоликдан кўп, иккинчи қисми эса ундан шунча кам 
бўлади. 
Бундан чиқадики, эҳтимолий хатолик, ишончли интервалга 
тенг бўлиб, бунда ишончли эҳтимоллик Р=0,5 га тенг бўлади 
Тасодифий хатолик нормал қонун бўйича тақсимланганда 
эҳтимолий хатолик қуйидагича топилиши мумкин
)
1
n
(
n
)
x
x
(
3
2
3
2
n
1
i
2
i
n








, 
0
σ
1
σ
2
σ
3
 
σ
1
=1
σ
2
=1,5
σ
3
=3 
y

---

71 
бу ерда 


n
n

- ўртача арифметик қиймат бўйича 
квадратик хатоликдир. Эҳтимолий хатолик бу усулда, кўпинча 
ўлчашни бир неча ўн, хаттоки юз маротаба такрорлаш имконияти 
бўлгандагина аниқланади. 
Баъзида ўлчашни жуда кўп маротаба такрорлаш имконияти 
бўлмайди, 
бундай 
ҳолда 
эҳтимолий 
хатолик 
Стъюдент 
коэффициенти ёрдамида аниқланади. Бунда, коэффициент 
ўлчашлар сони ва қабул қилинган ишончли эҳтимоллик қиймати 
бўйича махсус жадвалдан олинади. Бу ҳолда, ўлчанадиган 
катталикнинг ҳақиқий қиймати қуйидаги формула бўйича ҳисоблаб 
топилади 
n
n
t





,
бу ерда, t
n 
- Cтъюдент коэффициенти. 
Шундай қилиб, ўртача квадратик хатолик ўлчанадиган 
катталикнинг хақиқий қиймати исталган унинг ўртача арифметик 
қиймати атрофида бўлиш эҳтимолини топишга имкон беради, 
n

, бўлганда 

n
 

0 ёки ўлчаш сонини кўпайтириш билан 

n

0 
га интилиб боради. Бу эса ўз навбатида ўлчаш аниқлигини 
оширади.
Албатта, бундан ўлчаш аниқлигини исталганча ошириш 
(кўтариш) мумкин деган хулосага келмаслик керак, чунки ўлчаш 
аниқлиги, тасодифий хатолик то мунтазам хатоликка тенглашгунча 
ошади.
Шунинг учун, танлаб олинган ишончли интервал ва 
ишончли эҳтимолик қийматлари бўйича керакли ўлчашлар сонини 
аниқлаш мумкинки, бу эса тасодифий хатоликнинг ўлчаш 
натижасига ҳам таъсир кўрсатишини таъминласин.
Унинг нисбий бирликдаги қиймати эса қуйидаги ифода 
бўйича аниқланади: 
%
100






,
бу ерда 



 t
n n
72