|
Адабиётлар
1.
А. А. Барсегян, М. С. Куприянов, И. И. Холод, М. Д. Тесс, С. И. Елизаров.
«Анализ данных и процессов : учеб. Пособие» / 3-е изд., перераб. и доп.
СПб. БХВ-Петербург, 2009. 512 с.: (Учебная литература для вузов).
2.
Bing Liu «Web Mining. Data Exploring Hyperlinks, Contents, and Usage Data
Second Edition» Springer - 2011.
3.
WebMining: основные понятия [Электронный ресурс] // Basegroup.ru.
20.06.2010.
О ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В ПОЛОСЕ
ф-м.ф.д.В.Р. Ходжибаев (НамИСИ)
Пусть
1
2
,
, ,...,
...,
n
и
1
2
, ,..., ,...
n
две независимые между собой
последовательности независимых одинаково распределенных (в каждой
последовательности) случайных величин, причем
1
0
1,
1
1
,
u
h
Ee
u
Ee
,
Re
0, Re
0
u
.
Введем следующие определения:
0
0
S
,
1
2
...
,
n
n
S
1
2
max
:
...
,
,
0
k
t
t
k
t
t
S
t
.
Случайный процесс
t
называется обобщённым процессом
восстановления. В общем случае, он не является однородным. Если
1
t
t
e
, т.е.
u
u
, то
t
будет однородным и называется
обобщенным пуассоновским процессом. Случайные процессы вида
ct
t
аппроксимируют произвольный процесс с независимыми приращениями.
Поэтому установив соотношение для какой – либо характеристики
функционалов процесса
t
, часто удаётся получить аналогичное
соотношение для процесса более общего вида.
109
Пусть
1
0
,
,
,
t
n
n
k
k
T
I S
a b
T t
I
s
a b ds
,
0,
0
a
b
,
где
I A - индикатор события
A
. Случайная величина
n
T есть время
пребывания случайного блуждания
n
S в отрезке
,
a b
на интервале времени
1,2,...,n , т.е. число точек k , 1
,
k n
таких, что
,
k
S
a b
. Случайная
величина
T t - время пребывания случайного процесса
t
в
,
a b
за
промежуток времени от 0 до
t
.
Изучение распределения времени пребывания относится к граничным
задачам для случайных процессов, т.е. к нахождению вероятностей, связанных
с взаимным расположением траекторий случайного процесса, и границы
некоторого множества. Здесь будем говорить о друграничной задаче, если оба
числа
a
и
b
конечны. Если же
,
a
b
или
,
a
b
, то будем говорить
об однограничной задаче. Для многих граничных задач наиболее глубокие
результаты, в том числе полные асимптотические разложения вероятностей,
получаются с использованием известного факторизационного метода.
Литература,
посвященная
к
исследованию
распределений
случайных величин
n
T и
T t обширна. Наибольшее число публикаций
относится к случаю
0,
a
b
и связанному с ним закону арксинуса. Хорошо
известны предельные теоремы о времени пребывания в полосе, основанные на
использование сходимости распределений функционалов от траекторий
случайного блуждания к распределению соответствующих функционалов от
предельных процессов. Асимптотика распределения случайной величины
n
T
достаточно полно изучена в
1
с помощью факторизационного метода. Там
отдельно рассмотрены однограничные и двуграничные случаи. При этом на
распределение случайной величины
1
накладываются, в основном, условия
крамеровского типа. Весьма подробные библиографические сведения и
результаты этого направления исследований содержатся в
1,2 .
Обозначим
1
1
1
,
,
1,
1
n
n
T
n
n
n
n
n
n
k
f z s
z E s
z
s P T
k
z
s
,
0
0
0
,
t
vT t
ut
ut
vs
F u v
e Ee
dt
e
e dP T t
s dt
,
Re
0, Re
0
u
v
.
Целью данной заметки является установить связь между функциями
,
f z s и
,
F u v . С помощью известного факторизационного метода
асимптотика функции
,
f z s достаточно полно исследована в
1 , когда
a b
при
t
. При этом использованы аналитические свойства компонент
факторизации функции
1 zh
.
Нетрудно заметить, что
1
2
1
2
1
...
...
n
n
P
t
n
P
t
P
t
. (1)
С помощью формулы полной вероятности получим
1
0
,
t
vT t
vs
n
Ee
e d
P T t
s
t
n
110
1
0
/
t
vs
t n
n
e d
P T t
s
P
t
n
1
2
1
1
0
,
...
n
vs
n
k
n
k
e d
P
t
n
P T
k
s
1
1
,
n
k
n
n
k
P
t
n
P T
k
v
здесь случайные величины
1
2
, ,...
k
- длины интервалов времени, в
которых процесс
t
находился в отрезке
,
a b
. Очевидно, что эти величины
независимы и распределены как
1
. В силу соотношения
1
1
1
0
,
n
ut
k
n
n
k
F u v
e
P
t
n
v P T
k dt
1
1
1
n
n
k
n
n
k
u
u
v P T
k
u
1
,
u
f
u
v
u
.
Так как при отображении
множество Re
0
u
переходит во множество
1
z
, доказано следующее утверждение.
Теорема. При Re
0
u
,
Re
0
u v
1
,
,
u
F u v
f
u
v
u
. (2)
Как правило, асимптотическое поведение подынтегральной
функции в преобразовании Лапласа – Стилтьеса определяется поведением
этого преобразования в окрестности нуля. Как показывают многие
асимптотические исследования распределений граничных функционалов, даже
для получения полных асимптотических разложений вероятностей в условиях
Крамера достаточно знать поведение соответствующего преобразования
Лапласа – Стилтьеса в окрестности нуля: на остающейся части полуплоскости
модул преобразования Лапласа – Стилтьеса отличается экспоненциально
малым множителем. По этой причине в целях асимптотического исследования
вероятности
P T t
s
достаточно находить асимптотическое представление
функции
,
F u v вблизи нуля по переменным
u
и
v
.
В
1 при
:
1,
1
,
z L
z z
z
zs L
проведен асимптотический
анализ функции
, ,
f z s когда a b
при
t
, где
0
- некоторое
малое число.
При
д.м.
0
множество
: 0 Re
, Im
L
u
u
u
при
отображении
переходит внутрь L
, значит, справедливы в L
асимптотические представления функции
,
F u v , которые получаются из
представлений для
,
f z s заменой
,
z
u
s
u
в соответствии с (2).
Дальнейший асимптотический анализ функции
,
F u v и вероятностей
P T t
s
, вплоть до получения полных асимптотических разложений в
различных условиях на разбегания границ
a
и b при
t
проводится точно
111
также, как и в
1 . При этом на скачки процесса накладываются те же условия,
что и в
1 . А относительно распределения случайной величины
1
требуется
выполнения следующих условий:
1.
inf
:
0
2. Для каждого
,0
существует
1
0
u
такое, что при
1
0
u u
iu
при некотором
0
0
.
Литература
1. Лотов В. И. О времени пребывания случайного блуждания в полосе.
Сиб. мат. журн., Т. 51, № 4, 2010, стр. 785 – 804.
2. Бородин А.Н., Ибрагимов И.А. Предельные теоремы для функционалов от
случайных блужданий. Тр. мат. ин – та им. В.А.Стеклова РАН, Т. 195, 1994,
стр. 3 – 286
Do'stlaringiz bilan baham: |
