Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги мирзо улуғбек номидаги ўзбекистон миллий университети математика факультети

1.2.5-§ Алмаштиришлар группаси хакида тушунча.

Геометрияда айрим алмаштиришлар билан бир каторда, маълум

талабларга жавоб берувчи а л м а шт и р и ш л а р туплами жуда

ахамиятлидир. Булардан группа деб аталган тупламлар яна дам мух

имрок ахамиятга эга. Алмаштиришлар группасига дойр бир мисол

келтирайлик.
Т екисликда бирор t тугри чизик олиб, н ~ з бу тугри чизикда
ётмаган бирор нуктани белгилаб куяйлик
.
(75-чизма).
М нуктани куйидаги талабларга жавоб берувчи М' нуктага

алмаштирайлик: нукта t га перпендикуляр М Р 75-чизма.

тугри чизикда ва нукта билан бирга t тугри чизикнинг бир тарафида

ётади (Я нукта М Р перпендикуляр билан t тугри чизикнинг кесишган

нуктасидир); РМ'\PM =k > 0 ^чизмада & =Бундай алмаштириш, одатда

текис кисиш (& < Ч ) ёки текис чузиш (£>1) деб аталади. Биз уни f (М)*

= М' куринишда белгилаймиз. Бундаги k — к и с и ш ёки ч у з и ш

коэффициентидир. Бу алмаштиришни яхширок тасаввур этиш учун

бир-икки фигурани алмаштириб курайлик. 1-мисол. Х|ар кандай

кесмани бирор тугри чизикка нисбатан k коэффициент буйича чузсак,

яна бирор кесма хосил булади, яъни f(A B ) * = А'В' дир. Бунга

ишониш учун 76-чизмадаги АВ кесмани ундаги тугри чизикка

нисбатан k — 2 коэффициент буйича чузиб курайлик. Бу холда f (А)2и

= А' ва f (В)2а ^ В' булади. Берилган АВ кесманинг хар кандай

нуктаси бу алмаштиришда А'В' кес- М' нуктасига утишини исбот

килиш учун ,r f(M )2a ^ M ' ни хам ясаб, М'А' ва М'В' кесмалар битта

А'В' тугри чизикка карашлилигини исбот килиш кифоя. Бунинг учун бу

икки кесманинг берилган тугри чизикка бир хил

бурчак остида огишини исбот килиш керак, яъни А'Р' || ва М'К' II

кесмаларни утказиш натижасида хосил булган Z М'А'Р' нинг/ В'М'К' га

тенглигини исбот килиш керак (бундаги Р' ва К' нукталар А'Р' ва М'К' тугри

чизикларнинг ММ'±_а ва BB'j_a лар билан кесишиш нукталаридир)
.
Кейинги бурчакларнинг иккаласи бир хил (яъни уткир) булгани учун

куйидагини исбот килиш кифоя: tg Z М'А'Р' = tg Z В'М'К' = tga. (1)

Бунинг учун куйидаги исбот килиш керак: муносабатларнинг

мавжудлигини (П М 'Р' _ В’к ' А'Р' ~ М'К' ') Агар берилган тугри чизикка

параллел килиб АР ва МК тугри чизикларни утказсак, буларнинг

биринчиси М0М' ва иккинчиси В0В' тугри чизиклар билан кесишиб Р

ва К нукталарни ва бир-бирига ухшаш Д АРМ ва /\МКВ ларни хосил

Килади. Шунинг учун куйидаги муносабат уринли булади:

Д АРМ сл Д МКВ щ -Чизмага кура куйидагилар уринлидир:

#41' = k-> М0М' = k ■ М0М , м»м, \-+M0M '- M 0P'=k(M nM - M 0P) (3) Л ВР

k ^ M 0P’ = Чизмадаги М0М' — УИ0Р ' =М 'Р' ва М0М—М0Р = М Р булгани
учун (3) бундай куринишни олади:P'M' = k-PM. (3') Шунга ухшаш: = k ^

B ,B ' = к-Б0в\ У \^В0В '- В 0К’ = k(B0B - B 0K). (4) ^ = k ^ B 0K' = k-B0Kj

Чизмага мувофик (4) тенгликнинг чап томони В'К' ва унг томондаги

В0В — В0К = ВК булади. Шунинг учун (4) тенглик ушбу куринишга

киради: B'K' = k-BK. (40 (3') тенгликни (4') тенгликка дадлаб буламиз:

Р'М' _ Р М В'К' ~ ВК' ^ /\АСОсл/\СВЕ булгани учун ушбу пропорция

Уринли булади: = — /сч ВК МК' * ' (5) ва (6) ларга мувофик куйидаги

уринлидир: Р'М' РМ АР В’К' ~ ВК ~ МК' Чизманинг тузилишига кура,

АР — А'Р' ва МК = М'К' бул­гани учун кейинги тенглик ушбу куринишни

олади: Р'М' _ А'Р' .. Р'М' _ В’К' В'К' ~ М'К' еКИ А’Р' ~ М’К" > Демак,

берилган АВ кесмадаги ихтиёрий нуктани шу кесма буйича

даракатлантирсак, унинг бу алмаштиришдаги образи булган М' нукта

А'В' кесма буйича харакатланади.